[Asteriksme]

Arf, indeed, au temps pour moi.

Par contre, après mûre réflexion, j'ai trouvé la faille (mais je la dirai pas ici, parce que c'est vrai que le problème posé est amusant)

[harvey]

La procédure pileface retourne aléatoirement 'pile' ou 'face' avec une probabilité 1/2 pour chaque.
Considérons l'algorithme suivant :

n:=1
tant_que pileface()=='pile':
   n:=n*2

Quelle est l'espérance (la valeur moyenne) de n lorsque l'algorithme s'arrête ?

[BAAL]

Euh... l'infini ?

En fait ça fait longtemps que j'ai plus fait de proba je crois que je devrais revoir ma définition de l'espérance...

[n0rmal]

heu ? 2 ?

[neverSummeRed]

X : Variable aléatoire correspondant au premier pile
P(X=k) = P(L1 = Face) ⋂ P(L2 = Face) ⋂ ... ⋂ P(Lk-1 = Face) ⋂ P(Lk = Pile)
Or les lancers de pièce sont indépendants donc, nous avons :
P(X=k) = P(L1=Face) × P(L2=Face) × ... × P(Lk-1=Face) × P(Lk=Pile)

Posons :
p : Probabilité d'avoir face à un lancer quelconque (La pièce est la même à chaque lancer)
Nous avons
(1-p) : Probabilité d'obtenir pile à chaque lancer ( Car {Pile, Face} forment une partition de l'univers)

P(X=k)=p^(k-1) × (1-p)

Ensuite, il suffit de choper la formule de l'esperance :
E(X) = ∑ k × P(X=k)
       = (1-p) ∑ k × p^(k-1)

Si on est observateur, on voit vite que k × p^(k-1), c'est la dérivée selon p de p^k
Donc
E(X) = (1-p) × (∑ p^k)'
       = (1-p) × (1/(1-p))'
       = (1-p) × (1/(1-p)²)
A.N
      = 0.5 × 4 = 2

J'ai du faire des grosses bêtises quelque part. Je pense pas que l'espérance soit égale à 1/(1-p)

[BAAL]

Mais harvey demandait l'espérance de n, pas du nombre de lancers.

Si on applique la formule de l'espérance directement sur n on a ça:
E = 1*(1/2) + 2*(1/2)^2 + 4*(1/2)^3 + ... + 2^(k-1)*(1/2)^k, pour k allant jusqu'à l'infini
Du coup E = 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... = infini



Edit: A bien y repenser c'est logique que ça soit infini (même si pas vraiment intuitif). Dans un cas pratique on générera un nombre fini d'essais et on n'atteindra jamais une moyenne infinie, mais en théorie pour un nombre d'essais tendant vers l'infini on aura forcément des essais où n tendra aussi vers l'infini, mais ce de façon beaucoup plus rapide que le nombre d'essais (tiens on retourne aux messages de la shoutbox qui ont démarré tout ça, l'infini est-il plus grand que l'infini moins un? ).

Joli problème en tout cas !

[Asteriksme]

Donc en gros, si on veut éviter une population humaine infinie, il faut éviter de faire des galipettes pendant la grossesse.

Petite curiosité :
1/4 euro = 25 centimes
La racine carrée de 1/4 est 1/2
La racine carrée de 25 est 5
Donc 1/2 euro = 5 centimes !!

[shanks]

Mais harvey demandait l'espérance de n, pas du nombre de lancers.

L'espérance du nombre de lancer est dépendante de l'espérance de n, non?
Si E(nombre de lancer) = x alors E(n) = 2^(x-1)
On retombe de toute façon sur 2 de nouveau.

Même en y réfléchissant bien, que ce soit l'infini, ça me parait bizarre quand même...
Intuitivement, j'aurais plutôt dit 3/2 (ce n'est donc pas la solution  )

EDIT: Pour la curiosité de d'Asteriksme => sqrt(0.25) = 0.5 => 50 centimes

[harvey]

Si on applique la formule de l'espérance directement sur n on a ça:
E = 1*(1/2) + 2*(1/2)^2 + 4*(1/2)^3 + ... + 2^(k-1)*(1/2)^k, pour k allant jusqu'à l'infini
Du coup E = 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... = infini

Dans le mille, BAAL !
Bien qu'on ait en effet 2 lancers en moyenne, l'espérance de n est infinie. Même si l'algo retourne toujours une valeur finie, la moyenne de l'ensemble des valeurs obtenues tend toujours à augmenter à mesure qu'on itère.
J'ai trouvé ce problème dans un article de Jean-Paul Delahaye sur les longues traînes et la loi de Pareto.

[xJustiCe]

Petite curiosité :
La racine carrée de 1/4 est 1/2
La racine carrée de 25 est 5

Ces deux phrases ne sont pas à la même échelle l'une est en euro et l'autre en centime d'euro.
1/4 d'euro = 25 centimes
Racine de 25 = 5.

[galdinx]

Bonsoir.

Juste pour info comme je vois personne réagir :

Bon puisque vous ne m'avez pas cru la première fois, voici une autre preuve par A plus B que 2 est égal à 1:

On connait tous l'égalité suivante:
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 (moyenne des termes extrêmes fois le nombre de termes).
Du coup on a aussi: 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = (n-1)(n)/2

En ajoutant 1 de chaque côté:
1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + 1 = (n-1)(n)/2 + 1
1 + 2 + 3 + ... + n = (n-1)(n)/2 + 1
n(n+1)/2 = (n-1)(n)/2 + 1
n(n+1) = (n-1)(n) + 2
n^2 + n = n^2 - n + 2
2n = 2
n = 1

Pour n=2, on a bien 2=1

(Finalement il déchaîne les passions ce fil de discussion ).

Si n est fini alors :
1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + 1 = (n-1)(n)/2 + 1 qui entraine 1 + 2 + 3 + ... + n = (n-1)(n)/2 + 1 est faux.

En effet 1+2+3+...+(n-1) = 1+2+3+...+(n-2)+(n-1) donc si 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + 1 = 1+2+3+...+(n-2)+n.

Dans la mesure où on saute un terme, on ne peut plus utiliser la formule de calcul dans la ligne qui suit et donc la conclusion apporté par Baal est un troll.

En revanche, si on part sur des calculs a l'infini, on a :

1-1+1-1+... = 1/2 ou 1+10+100+1000+... = -1/9

Démo amusantes :
1-1+1-1+... = X
1-(1-1+1-1+1...) = X
1-X = X
X=1/2

ainsi que :
1+10+100+1000+... = X
1+10*(1+10+100+1000+...) = X
1+10X=X
X=-1/9


Enjoy...

[Asteriksme]

J'aime bien le terme de 'démo' pour calculer la somme d'une série divergente... La somme infinie des (-1)^n n'existe pas, donc c'est absurde de poser 1-1+1-1+... = X

C'est pareil pour celle d'après, et pour toutes les autres d'ailleurs, genre Sum(2^n,n,0,infinity) = -1

Par contre pour l'énigme le troll de BAAL j'ai rien compris à la démo de galdinx, mais suffit de voir que dans le passage à la 2e ligne BAAL ajoute n-1 à gauche et ne fait rien à droite, tout simplement.

Ouais je sais, je suis un chieur, ce topic c'est justement pour montrer à quel point des erreurs de raisonnement aussi grosses peuvent passer inaperçu, mais tant pis

Sinon, pour ceux que ça intéresse, dans certains cas on peut effectivement avoir Sum(2^n,n,0,infinity) = -1 ça dépend de la topologie utilisée, mais bon c'est un peu de la triche :p
par ici pour la théorie ! http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_p-adique

[galdinx]

Je suis d'accord pour dire que toutes les calculs sont du même type (et que si tu me trouves un argument pour l'un, il sera valable pour l'autre) ; en revanche ce n'est pas parce que tu ne peux pas appliquer la formule à des sommes finies, qui est un raccourcis dans le cas de ces dites somme finies justement, que la démonstration est fausse.

Montre moi ce qui, dans cette démonstration est faux au lieu d'arguer que c'est faux juste parce que tu ne peux pas utiliser le raccourcis gentiment appris.

Et effectivement, quand on fait des calculs à l'infini, on peut changer d'espace ou de topologie si l'on peut dire ainsi, ce qui explique les résultats assez bizarre que l'on peut y trouver ; on trouve que c'est de la triche car dans notre monde à nous, tout est finin du coup notre esprit est pas facilement adapté à ce genre de raccourcis.

Pour ce qui est de ma démo sur Baal, je voulais juste dire qu'en rajoutant +1, il avait supprimé le terme (n-1) et que donc la passage à la ligne suivante était faux.

[Asteriksme]

J'ai dit que c'était de la triche parce que c'est pas vraiment une somme comme on la voit mais une décomposition d'Hensel, ça demande quelques notions pour comprendre cette théorie qui ne travaille pas sur le corps des réels mais sur un autre, mais ça n'a rien à voir avec notre esprit borné (au contraire, comprendre la théorie demande une certaine maîtrise des infinis, d'ailleurs pour répondre à BAAL, "l'infini est-il égal à l'infini moins 1", je répondrais oui car ils sont isomorphes :p)

Pour en revenir à ce qui est faux, c'est comme je l'ai dit que l'on ne peut pas écrire 1-1+1-1+... = X car la somme infinie n'existe pas.
En effet, c'est le calcul hypothétique de la somme d'une série, de terme général (-1)^n et cette série diverge, c'est-à-dire que la suite des sommes partielles (Sum((-1)^k, k, 0, n)) ne converge pas, n'a pas de limite en l'infini. Donc tu peux bien calculer pour tout n la somme partielle de rang n, qui sera d'ailleurs 1 pour n pair et 0 pour n impair, mais tu ne peux pas calculer la limite en l'infini, qui est par définition la somme de la série associée, c'est-à-dire la somme infinie.

Pour plus de précisions sur les séries, n'hésite pas à te renseigner sur le web

[Iansus]

Tu peux aussi utiliser le fait que Σu_n converge => u_n tend vers 0.
Par contraposée, Σ(-1)ⁿ ne converge pas.

On sait que Σ1/n² tend vers Pi²/6 et Σ1/n⁴ tend vers Pi⁴/90

Un courageux pour Σ1/n³ ?