NewbieContest

Fil de discussion pour les mathématique de comptoir, remise en ordre des derniers messages de la shoot:

BAAL   14:37
Supposons que 2=1, dans ce cas on a aussi 1=2. En additionnant les deux on obtient 2+1=1+2, donc 3=3, ce qui est toujours vrai. Donc 2=1 est vrai.

ymvunjq   14:44
J'ajoute que si 2=1 alors 2+0=1+0 => 2010 ! (ceci n'est pas un hint, en tout cas je crois pas).

shanks   14:51
2=1 implique 3=3. Donc 2=1 n'es pas forcément vrai :wink:

Zitoune   15:18
Et si les éléphants sont verts alors 2=1 (aussi).

 _o_   18:53
J'ai jamais vu que des éléphants roses.

degravec   20:33
Pourquoi pour tout nombre (comme 21) la différence avec le nombre dont les chiffres sont inversées (ici 12) est égale à un multiple de 9?

Iansus   20:59
Parce que tout nombre est congru à la somme de ses chiffres modulo 9 (pas de changement par inversion de chiffres) et que la différence de 2 nombres congru au même chiffre modulo 9 est un multiple de 9 ^^

Pour le message de BAAL, on a une implication simple

En pratique :
Soit A et B deux assertions (Donc soit égal à VRAI soit à FAUX)

A => B est équivalent (noté <=>) à :
A OU (non B)

Si A est vrai alors B est également vrai. Mais la véracité de B n'implique strictement rien sur A.

En revanche si A => B et B=>A, alors ces deux propositions sont équivalentes


Ici, on a 2=1 => 3=3.
B est vrai, mais ça prouve pas que A soit vrai.
Voilou

Tu démontres un truc en supposant quelque chose au départ (2=1) donc ça tiens pas la route.
Surtout qu'à la fin tu fais ta démonstration avec l'hypothèse (qu'on suppose au départ) donc au final tu n'as rien démontré  :twisted: vu que ce n'est que de la supposition.

Vous êtes tous des JCVD à faire des raisonnements de la sorte !  :lol:

Ouais enfin, je crois pas que Baal était sérieux, faudrait arrêter de péter plus haut que son derrière.

Je crois que si quelqu'un doit être écouté, c'est bien BAAL bien qu'il n'est pas toujours raison et que d'autres joueurs ont sûrement un raisonnement comparable voir supérieur sur certain points de vus.

C'est une blague j'espère ce que tu dis ? BAAL te dit saute par la fenêtre tu sautes ? Non tu le feras pas je sais ... Avoir ses propres jugements et les défendre c'est bien aussi même si au final tu n'as pas raison. Après il faut avoir l'intelligence de reconnaître ses tords.

Je sais pas pourquoi mon message vous a fait réagir à ce point, c'est vraiment étrange mais bon tant pis.
Bref, beaucoup d'agressivités je trouve et des réponses qui ne tapent pas dans le sujet de base.

Je ne réponds avec aucune méchanceté. Je suis d'accords sur le fais qu'il faut défendre ses points de vus et ses jugements, mais parfois, l'aide et le raisonnement d'autres personnes est bon à prendre.

Et si BAAL me dit de sauter par la fenêtre, tu as entièrement raison : je le ferai pas  =D

J'pense que vous confondez tous humour et mathématiques, ces 2 notions vont rarement ensembles mais dans certains cas pourquoi pas.

Enfin quelqu'un de sensé.

Si tu étais un laveur de vitres ce genre de conseil ne te serait pas fatal, dans un sens comme dans l'autre d'ailleurs.

Mais pour revenir au sujet de départ, d'autres inepties avaient été dites avant la mienne, je ne faisais qu'alimenter la discussion constructive qui se déroulait dans la shoutbox.
En fait je croyais que personne n'allait répondre à ce fil de discussion une fois sur le forum car il était à mon sens plus adapté pour une shoutbox (sauf pour les explications mathématiques de 3 ou 4 postes dont tout le monde se serait passé :wink:).

Ton sophisme a déchaîné bien des passions BAAL...

- 1 = -1
(-1)/1 = 1/(-1)

si a = b, racine de a = racine de b
sqrt((-1)/1 ) = sqrt(1/(-1))

racine de a/b = racine de a / racine de b
sqrt(-1)/sqrt(1) = sqrt(1)/sqrt(-1)

produits des extrêmes = produit des moyens (a/b = c/d => a*d=b*c)
sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt(1)*sqrt(1)

racine de a par racine de a = a
-1 = 1

Bon, d'accord, la faille est évidente :)

laquelle ?
car j'en vois 2 ;)

Heeeeey, en fait, d'un point de vue d'algébriste, pas si évidente que ça.  :P
Il se cache en sous-main le fait qu'on a deux plongements de Q( \sqrt{-1} ) dans le corps des complexes, namely le premier qui envoie \sqrt{-1} sur i, le second sur -i... Ou d'un point de vue analytique, que la fonction d'élévation au carré induit une fibration de degré 2 sur le cercle unité du plan complexe. Ou encore, si on veut triturer jusqu'au bout, qu'il n'existe pas de détermination holomorphe (donc continue) du logarithme sur C \ {0}.
En particulier, si exp(i \pi) est bien égal à exp(-i \pi) ( = 1/ exp(i\pi) ), la "racine" de ces deux nombres n'est pas égale.

C'est une notation très utilisée en théorie des nombres (et utilisée par Cardan pour les résolutions d'équations de degré 3 par radicaux à l'époque où la racine de X²+1 n'avait pas de nom - pour montrer des résultats justes, ce qui est remarquable), et à ce titre, ce "paradoxe" est très instructif.

avec des failles, tous calculs est évident  :D comme celui-ci:

a=b
       *a
=>a²=ba
=>a²-b²=ba-b²
=>(a-b)(a+b)=b(a-b)
si on simplifie le (a-b) avec le (a-b) de droite, cela donne :
=>a+b=b

si a=1 et b=1
alors a+b=b
=>1+1=1
=>2=1

je sais bien qu'il y a deux, trois raisonnements et simplifications qui sont, comment dire, peu reconnus  :wink:

Bah tant qu'à faire, si 0 = 1 alors 1 = 2...

Je préfère la démonstration de 1 = 0.999..999  à l'infini.

oui celle la était pas mal. Mais bon c'est pour le fun et en apparence, sans trop de réfléxion on remarque pas trop la faille  =) Et c'est vrai que si on part comme ça, tout est permis

En même temps, et hélas je sens que ce post va mal tourner comme à chaque fois, "0.9999... = 1" n'a jamais été faux...
Au fait CommComm, pas mal ton truc, plus subtil que les divisons par 0 qu'on voit d'habitude.

Tout à fait, je n'ai pas dit non plus que c'était faux  ;)

Je vois que les mathématiques en passionnent plus que je l'aurais cru ;)
Je me disais, en concoquetant ma nouvelle épreuve  :twisted:, que ce serait trop mathématique, mais à lire ça, je crois bien que je vais me laisser aller =D.
BAAL, je crois que tu devrais partir une secte, tu ferais fureur.  :lol:

Bon puisque vous ne m'avez pas cru la première fois, voici une autre preuve par A plus B que 2 est égal à 1:

On connait tous l'égalité suivante:
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 (moyenne des termes extrêmes fois le nombre de termes).
Du coup on a aussi: 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = (n-1)(n)/2

En ajoutant 1 de chaque côté:
1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + 1 = (n-1)(n)/2 + 1
1 + 2 + 3 + ... + n = (n-1)(n)/2 + 1
n(n+1)/2 = (n-1)(n)/2 + 1
n(n+1) = (n-1)(n) + 2
n^2 + n = n^2 - n + 2
2n = 2
n = 1

Pour n=2, on a bien 2=1 =D

(Finalement il déchaîne les passions ce fil de discussion :) ).

D'autres calculs de Mr Leonhard Euler nous donnent :

1 + 1 + 1 + 1 + 1  + 1 + ..... = +∞

et 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .... = +∞

Mais aussi :

1 - 1 + 1 - 1 + 1 ... = 1/2
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + .... + 2^.... = -1

(Ces calculs peuvent paraître faux, mais ne sont pas sans fondements, tous partent de 1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ....  (DL de 1/(1-x)) !)
( cf Article "Les calculs paradoxaux d'Euler sur les séries divergentes", Tangente n°132 )

Personne n'a rien vu à la sqrt(-1/1) :|


Le premier qui révèle une faille XSS dans les démonstrations de BAAL devient mon héros.

Pour continuer sur la lancée, voici un petit paradoxe :

Combien de personnes doit-on réunir pour avoir au moins une chance sur deux qu'au moins 2 personnes est
leur anniversaire le même jour (j'entends par là, même date pour jour/mois, sans prendre en compte les années de naissance).

bien évidemment la réponse n'est pas 183 (365/2), et je parle d'année non bissextile (même si cela change peu).

23 personnes.

J'ai gagné combien de points ? C'est où la validation ?

Eh ! On attend ta démo xJustiCe !
Même si elle est bien connue...

10 mai 2010 - 12 mai 2010 - 15 mai 2010 - 20 mai 2010 - 24 mai 2010 - 30 mai 2010 - 02 août 2010
Quels sont les douze derniers termes de la suite ?

42  ;)

Je ne suis pas certain qu'il soit utile de rappeler la démo ici. Elle doit figurer 122.000 fois sur le net. Mais je trouve ce "paradoxe des anniversaires" très instructif car il montre bien que dans certains domaines (probas notamment), l'intuition est souvent mauvaise conseillère. C'est donc, outre l'aspect ludique, un excellent petit outil pédagogique.

Bien essayé  ;)

 :arrow: faille  :wink:

Tiré du cinéma:
A un jeu télévisé, on vous demande de choisir une des trois portes devant vous. Derrière une d'elle le gros lot, sinon rien. Vous en choisissez une. Le présentateur (qui sait où est le gros lot) élimine une des 2 autres portes en montrant bien qu'il n'y avait rien derrière. Il vous demande si vous voulez conserver votre choix ou changer. Que faut-il faire?

Je garde mon premier choix  =) mais je suis sûr qu'il y a un piège quelque part  :evil:

Pas vraiment de piège dans le sens où il n'y a rien de caché dans l'énoncé.
C'était pour confirmer ce qu'a dit CommComm:


Shype, je t'invite à re-réfléchir à la question  =D

Il faut changer pour avoir 2 chances sur 3 de gagner au lieu de 1 sur 3. Mais c'est bien trop connu :wink:.

 :wink:

pas assez pour moi  :cry: la prochaine fois je relie le forum en entier avant de répondre  =)

C'est d'ailleurs amusant que pour 1 choix sur 3 l'intuition indique cette stratégie, tandis qu'en remplaçant 3 par 100 vous ne trouverez personne pour se tromper.

Imaginons le même jeu avec 100 boîtes, on en choisit une au hasard, et ensuite le présentateur en montre 98 vides. Il ne viendrait à l'idée de personne de conserver son choix...

Sauf si on sait que le présentateur sait où est la boite gagnante  :D Si c'est le cas.
j'en ai une qui n'a pas grand chose à voir avec les maths mais qui pose un bon problème existentiel :

les caractères, décisions et comportements psychologique sont-ils héréditaires de générations en générations ou dépendent-t-ils de faits individuels ?

(on dirai de la philo =| )

Ah, ça c'est moins drôle...

Par contre,


Le DL n'est qu'en un point, on ne peut pas donc parler de DL mais plutôt de série entière, et alors tout n'est plus question que de rayon de convergence ;)

Un autre sympa :

Soit S = Sum(2^n, n, 0, Infinity).
S = 1 + 2S
Donc S = -1.

C'est d'ailleurs un des deux que tu as cité ^^

Si on regarde le cas général d'après ta formule Asterixme:

Sum(xⁿ, n=0..Infinity) = S :

S = 1 + x*S soit : (1-x)S = 1
D'où S = 1/(1-x), formule qui s'avère exacte lorsque x->0 (DL en 0 de 1/(1-x))

Le plus intéressant : Que se passe-t-il quand x=0 ?
/!\ Surtout ne pas penser : 0⁰+0¹+0²+0³+0⁴+.... = 0 /!\

Le cas 0⁰ est toujours un cas litigieux (un prof de collège vous dira sûrement qu'en fait 0⁰ peut valoir n'importe quoi, 1 comme -354/87, en effet : 0⁰ = 0^-0 d'où (0⁰)²=1 >>> 0⁰ = 1 ou -1), mais d'après cette expression de 1/(1-x), on tire l'expression 0⁰ = 1

D'après le binôme de Newton aussi :

(1+0)^n = Sum(Cn(k,n)*1^k*0^(n-k), k, 0, n) (où Cn(k,n) désigne la combinaison 'k parmi n')

Pour n=0,
1^0 = 1
(1+0)^0 = Cn(0,0)*1^0*0^0
0! = 1 donc Cn(0,0) = 1
D'où 0^0 = 1.

Et pourtant, lim((1/e^x)^(1/x), x, Infinity) = 1/e  !!
Comme quoi on peut faire dire ce que l'on veut aux maths, en étant peu rigoureux.

Edit : Faudrait vraiment rajouter un outil de mise en forme mathématique à ce forum :p

C'est vrai qu'un petit module LaTex ne ferait pas de mal ^^

En attendant, tu peux toujours utiliser celui là : http://www.siteduzero.com/cgi-bin/mimetex.cgi qui s'utilise de cette manière :

http://www.siteduzero.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\frac{\pi^2}{6}=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}} (http://www.siteduzero.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\frac{\pi^2}{6}=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}})

PS: ça a sûrement été désactivé pour des raisons de sécurité, mais un remettre les balises [ img ] et [ /img ], ça serait cool aussi ^^

Pour changer, un peu de géométrie niveau 3e (enfin c'est là que j'avais appris ce problème...)
Pour ne pas avoir à refaire la figure, je l'ai piquée sur un forum. Dispo sur http://CommComm.free.fr/isocele.jpg (http://CommComm.free.fr/isocele.jpg).
Soit un triangle quelconque ABC.
La bissectrice de l'angle A et la médiatrice de BC se coupent en O.
De O, on abaisse les perpendiculaires OH1 sur AB et OH2 sur AC.
Les triangles AOH1 et AOH2 sont égaux : triangles rectangles ayant une hypoténuse égale et un angle aigu égal (AO bissectrice de A).
Donc AH1=AH2 et OH1=OH2.
Les triangles BOH1 et COH2 sont égaux : triangles rectangles avec hypoténuse égale (OB = OC puisque O sur la médiatrice de BC) et un côté de l'angle droit égal (OH1 = OH2 cf. ci-dessus).
Il en résulte que BH1=CH2.

Puisque AH1=AH2 et BH1=CH2 => AH1+BH1 = AH2+CH2 soit AB=AC. Un triangle quelconque est donc toujours isocèle.

Le gros bluff qui passe (presque) inaperçu : "Il en résulte que" :p

Pourquoi bluff ? C'est parfaitement exact. Deux triangles rectangles avec hypoténuse égale et soit un un angle aigu égal soit un côté de l'angle droit égal sont égaux. Et s'ils sont égaux, leurs trois côtés et leurs trois angles sont égaux. Et au cas particulier, il n'y a pas de manipulation : c'est bien le troisième côté dans les deux triangles.

Arf, indeed, au temps pour moi.

Par contre, après mûre réflexion, j'ai trouvé la faille :) (mais je la dirai pas ici, parce que c'est vrai que le problème posé est amusant)

La procédure pileface retourne aléatoirement 'pile' ou 'face' avec une probabilité 1/2 pour chaque.
Considérons l'algorithme suivant :

n:=1
tant_que pileface()=='pile':
   n:=n*2

Quelle est l'espérance (la valeur moyenne) de n lorsque l'algorithme s'arrête ?

Euh... l'infini ? :oops:

En fait ça fait longtemps que j'ai plus fait de proba je crois que je devrais revoir ma définition de l'espérance...

heu ? 2 ?

X : Variable aléatoire correspondant au premier pile
P(X=k) = P(L1 = Face) ⋂ P(L2 = Face) ⋂ ... ⋂ P(Lk-1 = Face) ⋂ P(Lk = Pile)
Or les lancers de pièce sont indépendants donc, nous avons :
P(X=k) = P(L1=Face) × P(L2=Face) × ... × P(Lk-1=Face) × P(Lk=Pile)

Posons :
p : Probabilité d'avoir face à un lancer quelconque (La pièce est la même à chaque lancer)
Nous avons
(1-p) : Probabilité d'obtenir pile à chaque lancer ( Car {Pile, Face} forment une partition de l'univers)

P(X=k)=p^(k-1) × (1-p)

Ensuite, il suffit de choper la formule de l'esperance :
E(X) = ∑ k × P(X=k)
       = (1-p) ∑ k × p^(k-1)

Si on est observateur, on voit vite que k × p^(k-1), c'est la dérivée selon p de p^k
Donc
E(X) = (1-p) × (∑ p^k)'
       = (1-p) × (1/(1-p))'
       = (1-p) × (1/(1-p)²)
A.N
      = 0.5 × 4 = 2

J'ai du faire des grosses bêtises quelque part. Je pense pas que l'espérance soit égale à 1/(1-p)

Mais harvey demandait l'espérance de n, pas du nombre de lancers.

Si on applique la formule de l'espérance directement sur n on a ça:
E = 1*(1/2) + 2*(1/2)^2 + 4*(1/2)^3 + ... + 2^(k-1)*(1/2)^k, pour k allant jusqu'à l'infini
Du coup E = 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... = infini

:?:

Edit: A bien y repenser c'est logique que ça soit infini (même si pas vraiment intuitif). Dans un cas pratique on générera un nombre fini d'essais et on n'atteindra jamais une moyenne infinie, mais en théorie pour un nombre d'essais tendant vers l'infini on aura forcément des essais où n tendra aussi vers l'infini, mais ce de façon beaucoup plus rapide que le nombre d'essais (tiens on retourne aux messages de la shoutbox qui ont démarré tout ça, l'infini est-il plus grand que l'infini moins un? :D ).

Joli problème en tout cas !

Donc en gros, si on veut éviter une population humaine infinie, il faut éviter de faire des galipettes pendant la grossesse.

Petite curiosité :
1/4 euro = 25 centimes
La racine carrée de 1/4 est 1/2
La racine carrée de 25 est 5
Donc 1/2 euro = 5 centimes !!

L'espérance du nombre de lancer est dépendante de l'espérance de n, non?
Si E(nombre de lancer) = x alors E(n) = 2^(x-1)
On retombe de toute façon sur 2 de nouveau.

Même en y réfléchissant bien, que ce soit l'infini, ça me parait bizarre quand même...
Intuitivement, j'aurais plutôt dit 3/2 (ce n'est donc pas la solution  =D)

EDIT: Pour la curiosité de d'Asteriksme => sqrt(0.25) = 0.5 => 50 centimes

Dans le mille, BAAL !
Bien qu'on ait en effet 2 lancers en moyenne, l'espérance de n est infinie. Même si l'algo retourne toujours une valeur finie, la moyenne de l'ensemble des valeurs obtenues tend toujours à augmenter à mesure qu'on itère.
J'ai trouvé ce problème dans un  article de Jean-Paul Delahaye  (http://interstices.info/jcms/c_33651/les-longues-traines) sur les longues traînes et la loi de Pareto.

Ces deux phrases ne sont pas à la même échelle l'une est en euro et l'autre en centime d'euro.
1/4 d'euro = 25 centimes
Racine de 25 = 5.

Bonsoir.

Juste pour info comme je vois personne réagir :


Si n est fini alors :
1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + 1 = (n-1)(n)/2 + 1 qui entraine 1 + 2 + 3 + ... + n = (n-1)(n)/2 + 1 est faux.

En effet 1+2+3+...+(n-1) = 1+2+3+...+(n-2)+(n-1) donc si 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + 1 = 1+2+3+...+(n-2)+n.

Dans la mesure où on saute un terme, on ne peut plus utiliser la formule de calcul dans la ligne qui suit et donc la conclusion apporté par Baal est un troll.

En revanche, si on part sur des calculs a l'infini, on a :

1-1+1-1+... = 1/2 ou 1+10+100+1000+... = -1/9

Démo amusantes :
1-1+1-1+... = X
1-(1-1+1-1+1...) = X
1-X = X
X=1/2

ainsi que :
1+10+100+1000+... = X
1+10*(1+10+100+1000+...) = X
1+10X=X
X=-1/9


Enjoy...

J'aime bien le terme de 'démo' pour calculer la somme d'une série divergente... La somme infinie des (-1)^n n'existe pas, donc c'est absurde de poser 1-1+1-1+... = X ;)

C'est pareil pour celle d'après, et pour toutes les autres d'ailleurs, genre Sum(2^n,n,0,infinity) = -1

Par contre pour l'énigme le troll de BAAL j'ai rien compris à la démo de galdinx, mais suffit de voir que dans le passage à la 2e ligne BAAL ajoute n-1 à gauche et ne fait rien à droite, tout simplement.

Ouais je sais, je suis un chieur, ce topic c'est justement pour montrer à quel point des erreurs de raisonnement aussi grosses peuvent passer inaperçu, mais tant pis :)

Sinon, pour ceux que ça intéresse, dans certains cas on peut effectivement avoir Sum(2^n,n,0,infinity) = -1 ça dépend de la topologie utilisée, mais bon c'est un peu de la triche :p
par ici pour la théorie ! http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_p-adique

Je suis d'accord pour dire que toutes les calculs sont du même type (et que si tu me trouves un argument pour l'un, il sera valable pour l'autre) ; en revanche ce n'est pas parce que tu ne peux pas appliquer la formule à des sommes finies, qui est un raccourcis dans le cas de ces dites somme finies justement, que la démonstration est fausse.

Montre moi ce qui, dans cette démonstration est faux au lieu d'arguer que c'est faux juste parce que tu ne peux pas utiliser le raccourcis gentiment appris.

Et effectivement, quand on fait des calculs à l'infini, on peut changer d'espace ou de topologie si l'on peut dire ainsi, ce qui explique les résultats assez bizarre que l'on peut y trouver ; on trouve que c'est de la triche car dans notre monde à nous, tout est finin du coup notre esprit est pas facilement adapté à ce genre de raccourcis.

Pour ce qui est de ma démo sur Baal, je voulais juste dire qu'en rajoutant +1, il avait supprimé le terme (n-1) et que donc la passage à la ligne suivante était faux.

J'ai dit que c'était de la triche parce que c'est pas vraiment une somme comme on la voit mais une décomposition d'Hensel, ça demande quelques notions pour comprendre cette théorie qui ne travaille pas sur le corps des réels mais sur un autre, mais ça n'a rien à voir avec notre esprit borné (au contraire, comprendre la théorie demande une certaine maîtrise des infinis, d'ailleurs pour répondre à BAAL, "l'infini est-il égal à l'infini moins 1", je répondrais oui car ils sont isomorphes :p)

Pour en revenir à ce qui est faux, c'est comme je l'ai dit que l'on ne peut pas écrire 1-1+1-1+... = X car la somme infinie n'existe pas.
En effet, c'est le calcul hypothétique de la somme d'une série, de terme général (-1)^n et cette série diverge, c'est-à-dire que la suite des sommes partielles (Sum((-1)^k, k, 0, n)) ne converge pas, n'a pas de limite en l'infini. Donc tu peux bien calculer pour tout n la somme partielle de rang n, qui sera d'ailleurs 1 pour n pair et 0 pour n impair, mais tu ne peux pas calculer la limite en l'infini, qui est par définition la somme de la série associée, c'est-à-dire la somme infinie.

Pour plus de précisions sur les séries, n'hésite pas à te renseigner sur le web ;)

Tu peux aussi utiliser le fait que Σu_n converge => u_n tend vers 0.
Par contraposée, Σ(-1)ⁿ ne converge pas.

On sait que Σ1/n² tend vers Pi²/6 et Σ1/n⁴ tend vers Pi⁴/90

Un courageux pour Σ1/n³ ?