[ferbos]

2) je dirai 2 mais cela me paraît trop évident.

Le raisonnement (sans probabilité): chaque couple veut un enfant de chaque sexe, donc au maximum ils en font deux et ils sauront s'ils ont deux enfants de sexe différents. A moins d'infanticides, je ne vois pas pourquoi ils iraient au-delà. D'où la moyenne de 2.

NB: oui, je sais, je me suis levé du pied gauche.

ferbos

[ferbos]

Ça m’étonne que vous n’ayez pas vu ça au Lycée (ou alors vous ne vous en souvenez pas).
Il y’a 1 seule façon d’obtenir 2 (1+1), 2 façons d’obtenir 3 (1+2 ou 2+1), 3 façons d’obtenir 4 (1+3,2+2,3+1), 4 façons d’obtenir 5 (1+4,2+3,3+2,4+1), 5 façons d’obtenir 6 (1+5,2+4,3+3,4+2,5+1), 6 façons d’obtenir 7 (6+1,5+2,4+3,3+4,2+5,1+6).
Ensuite on redescend, 5 façons d’obtenir 8, 4 façons d’obtenir 9, 3 façons d’obtenir 10, 2 façons d’obtenir 11, 1 façon d’obtenir 12 (6+6).

Ça donne donc une probabilité de 6/36 pour 7.

On peut y introduire la formule de Bayes par l'évènement "obtenir 7 sachant que le premier dé donne...". On peut résoudre ainsi le problème avec des dés différents et des sommes différentes.

ferbos

[BAAL]

Bizarre le raisonnement d’Alkanor, mais c’est bien la bonne réponse! on ne peut pas tricher avec la probabilité de base, on aura toujours une probabilité de 1/2.
ferbos, tu dois nous dire comment tu obtiens 2.

[Nuco]

Pour la 2], je dirais 3 :
- la moitié des couples s'arrêtera au 2e ;
- la moitié de l'autre moitié s'arrêtera au 3e ;
- etc.

A la limite, le nombre moyen d'enfants au delà du premier est donné par 1/2 + 2/(2^2) + 3/(2^3) + ...
Ca revient à étudier la limite de la somme des n/2^n.
En notant S_n = 1/2 + ... + n/2^n on peut montrer qu'on a S_n = (1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n) + 1 - (n+1)/2^n (faut bidouiller un peu).
D'où par passage à la limite S_n ---> 2.
Et donc en prenant en compte le premier enfant ça fait en moyenne 3 par couple.

C'est un peu moche, je suis sûr qu'il doit y avoir un raisonnement beaucoup plus élégant. Mais si ça passe par le calcul, je ne m'en prive pas.  

EDIT : dans la question initialement posée, "Dans un autre pays, si tous les couples décident de faire des enfants jusqu’à ce qu’ils en aient exactement un de chaque sexe, combien chaque couple aura-t-il d’enfants en moyenne?", ne faut-il pas remplacer le "exactement" par "au moins" ? C'est ce que j'ai supposé en lisant rapidement. Sinon ils font quoi si leurs deux premiers enfants sont des garçons ?

[BAAL]

Ah oui désolé, je voulais bien dire “au moins”.
Et oui 3 est bien la bonne réponse, et le raisonnement me paraît juste, je n’en vois pas de plus simple.

Bien joué!

[harvey]

C'est un peu moche, je suis sûr qu'il doit y avoir un raisonnement beaucoup plus élégant.

Le raisonnement est le même si le premier gosse est femelle ou mâle. On cherche combien il faut en pondre pour en avoir un du sexe x  (= N), et on ajoute 1.
Il y a une chance sur deux que le môme soit du bon sexe, et une chance sur deux qu'on revienne à la condition de départ. Donc en moyenne, N = 1 + (1/2)*N, soit N=2. La solution du problème, avec la correction mentionnée par Nuco, semble donc être 3 (il faudrait aussi prouver que la série est convergente).

Maintenant, je suis d'accord qu'il y a un problème de formulation. "Exactement un de chaque sexe" suggère que les couples continuent à générer des chiards à l'infini s'ils ont le malheur de commencer par deux glaçons ou deux billes. Du coup, la solution dépend de la période de fertilité et du rythme de production. Si on voulait pinailler (et pourquoi ne le voudrait-on pas?), on pourrait ajouter que les données absentes de l'énoncé affectent aussi le problème corrigé. Le fait que la capacité procréative de certains couples soit interrompue avant qu'ils aient rempli leur objectif implique que la solution ne soit qu'une borne maximale, et qu'une évaluation plus précise dépende, encore, de la période de fertilité, espérance de vie, fréquence des jumaux, etc. Le taux de mortalité par sexe et classe d'âge complique encore les choses.

[ferbos]

(il faudrait aussi prouver que la série est convergente).

le terme n/2^n converge fortement vers 0 (ou un truc du genre) la suite (n/2^n) est décroissante et tend vers 0 donc Avec D'Alembert,  la série converge. (2 edits, vivement les vacances !!)

Ah oui désolé, je voulais bien dire “au moins”.

Je ne suis pas tout seul à me lever du pied gauche. Je suis rassuré. C'est sûrement pourquoi on la nomme énigme du soir.

ferbos

[codejump]

poème, math et cryptographie :

Quel nombre ce cache derrière ce petit poème ?

"Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages. Glorieux Archimède, artiste ingénieux! Toi, de qui Syracuse aime encore la gloire, soit on nom conservé par de savants grimoires".

ps: elle n'est pas de moi dsl ^^

[pixis]

Pi, j'ai commencé à l'apprendre comme ça d'ailleurs.

À mon tour, une facile :
Jeanne a deux enfants. L'un des deux est une fille. Quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon ?

[codejump]

Ouaipe, avec la méthode stp Pixis

[pixis]

Nombre de lettres par mot

[codejump]

Oui !
Que = 3, j'=1, aime = 4 etc...

Et pour ton énigme je dirais 1/2 mais sa me parais trop simple ? ^^

[pixis]

Ça serait trop simple, oui. Mauvaise réponse !

[Kithyane]

Pour les deux enfants, on a 4 cas équiprobables : FF, FG, GF, GG
Or si l'un des deux est une fille, il reste 3 cas possibles : FF, FG, GF, et parmi ceux-ci, dans 2 cas sur 3 l'autre enfant est un garçon. Donc 2/3 !

Le piège est dans le "l'un d'eux est une fille" -> c'est très différent de "le premier est une fille" (dans ce cas là ça aurait été 1/2)
Hier soir je suis tombée en plein dedans en lisant trop vite, mais ce matin bien reposée ça a fait tilt :p

[pixis]

Parfait ! Comme quoi l'intuition n'a pas toujours raison, et les mots d'un énoncé sont rarement choisis au hasard !
Bien joué

Autre énigme, un peu plus corsée :
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* Jessica Pote choisi deux nombres entiers entre 2 et 100 (inclus).                                           *
* Elle va alors voir ses amis Jean-Phil Tou et Homer Dalor.                                                   *
* Elle donne secrètement à Homer la somme de ses deux entiers, et à Jean-Phil le produit de ces deux entiers. *
* Puis leur pose la question : Saurez-vous retrouver mes deux nombres ?                                       *
* Jean-Phil : Je ne sais pas.                                                                                 *
* Homer : Je savais que tu n'allais pas savoir                                                                *
* Jean-Phil : Alors je sais                                                                                   *
* Homer : Alors moi aussi                                                                                     *
*                                                                                                             *
* Précisions :                                                                                                *
*   - Homer sait que Jean-Phil connait le produit, et inversement.                                            *
*   - Homer et Jean-Phil savent tous les deux que la valeur min est 2 et la valeur max est 100.               *
*   - Les deux protagonistes sont pas cons.                                                                   *
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Mais quels sont ces deux nombres mystérieux ?