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Auteur Fil de discussion: Enigme du soir, Bonsoir !  (Lu 42292 fois)
codejump

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« le: 15 Juillet 2015 à 16:27:56 »

Pour ceux qui veulent poster des énigmes
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BAAL

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« #1 le: 15 Juillet 2015 à 17:11:09 »

Soit un cercle de rayon 1. Le côté d'un triangle équilatéral inscrit dans ce cercle a pour longueur sqrt(3). Quelle est la probabilité qu'une corde du cercle, choisie au hasard, possède une longueur supérieure à sqrt(3) ?

C'est un problème connu, pas le droit de chercher sur le web!

Promis, la prochaine fois j'en invente un.
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codejump

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« #2 le: 15 Juillet 2015 à 17:42:12 »

ah ça me dit quelque chose ca...^^
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pixis
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« #3 le: 15 Juillet 2015 à 18:25:18 »

Intuitivement, je dirais que la proba est (2-sqrt(3))/2
Maintenant, faut que je calcule pour vérifier si mon hypothèse est bonne !

edit : En fait je me suis planté mon hypothèse. Je recommence.
J'avais en tête
(2-sqrt(3)/2*2)/2 = (2-sqrt(3))/2

Mais en faisant le dessin au propre et avec des souvenirs de trigo c'était 1/2 et pas sqrt(3)/2 que je devais utiliser
Donc :
(2-1/2*2)/2 = 1/2 !

C'est mon dernier mot Jean-Pierre.

edit2 : Et mon explication :
Soit un diamètre au hasard, et on prend l'ensemble des cordes perpendiculaires à ce diamètre (j'aurais pu prendre le rayon, mais j'avais le diamètre en tête). Les cordes qui ont une longueur > sqrt(3) sont celles situées entre -1/2 et +1/2 sur le diamètre. Donc il y a une longueur de 1 avec ces cordes, sur le total de 2 du diamètre, d'où 1/2 (Mais je suis passé par 4 chemins pour mes calculs. L'expliquer rend le raisonnement plus clair !)
« Dernière édition: 15 Juillet 2015 à 18:39:58 par pixis » Journalisée

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« #4 le: 15 Juillet 2015 à 18:31:03 »

moi je dirais 1/3 mais ça me paraît beaucoup trop simple pour être ça
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Alkanor

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« #5 le: 15 Juillet 2015 à 18:36:35 »

Intuitivement je dirais 1/2,
ensuite je dirais 1/3 avec une démo cette fois : choisir une corde ça revient à choisir une origine sur le cercle et un angle entre entre -90 et 90 degrés, l'origine on s'en fiche, par contre soit l'angle il est supérieur à 30 degrés et la corde a une longueur inférieure à sqrt(3), soit l'angle il est inférieur à -30 degrés et on a la même chose, soit l'angle il est compris entre -30 et 30 degrés et on a une longueur de code supérieure à sqrt(3). Du coup si on considère que tirer la corde au hasard revient à choisir l'angle au hasard, ça donne une proba de (30-(-30))/180 = 1/3.
Je vais vérifier ça en espérant ne pas m'être vautré  .
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pixis
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« #6 le: 15 Juillet 2015 à 18:42:00 »

J'suis sûr de mon raisonnement, mais celui de Alka me semble bon aussi. dafuk .. 
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« #7 le: 15 Juillet 2015 à 18:49:41 »

j'avais le même raisonnement que Alkanor
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codejump

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« #8 le: 15 Juillet 2015 à 20:20:15 »

c'est bon ca me revient c'est pas le "machin"(je me souvient plus du mot ^^ ) de Bertran ou un truc du genre ?
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ferbos

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« #9 le: 15 Juillet 2015 à 21:26:11 »

Bsr,

j'aurais fait le même raisonnement qu'Alkanor en terme de superficie et non en terme d'angle car les cordes d'une longueur de plus de sqrt(3) représente une surface (de même que celle d'une longueur de moins de sqrt(3)).

Donc, du disque de rayon 1, je retire deux surfaces: deux segments circulaires dont la longueur de corde est sqrt(3). Ils ont chacun pour surface: 1/2[2pi/3-sin(2pi/3)].

Du coup, la probabilité recherchée est: 1-{2*1/2*[2pi/3-sqrt(3)/2]}/pi=1/3-sqrt(3)/(2pi)1/3+sqrt(3)/(2pi)

Non?

ferbos

correction: une erreur de signe....

« Dernière édition: 15 Juillet 2015 à 21:36:08 par ferbos » Journalisée

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BAAL

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« #10 le: 15 Juillet 2015 à 21:36:36 »

On a du 1/2, on a du 1/3, personne pour justifier que ça pourrait être 1/4 ? 
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pixis
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« #11 le: 15 Juillet 2015 à 21:44:34 »

On a du 1/3+sqrt(3)/(2pi) aussi
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« #12 le: 15 Juillet 2015 à 21:45:57 »

...xD je pense que je vais renommée la discussion "Faites des maths avec BAAL"  :')
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harvey

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« #13 le: 15 Juillet 2015 à 21:50:54 »

Quelle est la probabilité qu'une corde du cercle, choisie au hasard, possède une longueur supérieure à sqrt(3) ?
Choisie au hasard comment?


Si les deux points sont placés indépendament sur la circonférence ça doit être un tiers
Il suffit de tracer le triangle avec le premier point comme sommet pour voir que le deuxième point a une chance sur trois de tomber dans l'arc de cercle opposé (en gros le raisonnement d'Alkanor).


Bon, j'ai trouvé autre chose.
On détermine la corde par l'aire qu'elle découpe dans le cercle. On choisit l'aire par un tirage uniforme sur l'intervalle ]0,pi/2[ (moitié de l'aire du cercle).
Comme l'aire du triangle équilatéral de côté sqrt(3) est 3/4, l'aire découpée à l'extérieur par chaque côté est (pi-3/4)/3 = pi/3-1/4.
La probabilité qu'on cherche est le rapport entre ces deux aires: (pi/3-1/4) / (pi/2) .
« Dernière édition: 15 Juillet 2015 à 22:34:11 par harvey » Journalisée

L'entropie vient en mangeant.
ferbos

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« #14 le: 15 Juillet 2015 à 22:06:10 »

On a du 1/3+sqrt(3)/(2pi) aussi

C'est bien de penser à moi mais je suis visiblement à côté de la plaque.

ferbos
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