[Conficius]

BAAL, on parle de la mauvaise équation, moi je suis resté à l'équation d'origine, j'avais pas fait gaffe à la modification. Le triplet marche dans l'équation d'origine.

Mais bon, en fait, cette équation n'a pas trop d'intérêt car elle possède une infinité de solution de la forme :
(x;y;z) = (k;n; 2^(n+k) - 3^(k)).
Toutes les solutions que je propose sont justes des cas particuliers de ce triplet. Sa ne fait donc pas avancer le problème, et je suis sûr qu'on ne peut pas avancer plus loin. BAAL a raison dans un sens.

Si z = 3m
   Si x  >= 1, pas de solution car 3 ne divise pas une puissance de 2
   Si x = 0, on a (0; 2n+2, 4^(n+1))

Si z = 3m + 1
    Si x >= 1, (k; 2n + 2 - k ; 4^(n+1) - 3^k)
    Si x = 0, je sais plus, un truc dans le même genre

Si z = 3m + 2
     Si x >= 1, (k; 2n+3 -k; 2^(2n+3) - 3^k)
     Si x = 0, pas de solution.

Je ne pense pas qu'il puisse exister des formes vraiment à part.

[BAAL]

J'allais poster pour préciser que la toute première solution avec x=0 n'est que la réécriture de l'équation d'origine ^^, un peu comme tu dis maintenant.

En effet, tous les triplets suivants sont solutions:
(0, n, 2^(n+3) - 1)
(1, n, 2^(1+n+3) - 3)
(2, n, 2^(2+n+3) - 9)
(3, n, 2^(3+n+3) - 27)
.
.
.
donc pour x = k:
(k; n; 2^(k+n+3) - 3^n)

Encore du tournage en rond...

[Conficius]

Pour compenser, je propose qu'on regarde 2^(x+y+3) - 3^x = 5, l'équation qu'à proposer Iansus dans quelques postes précédents.

[BAAL]

C'est elle que je regardais en fait... c'est la même chose que pour la première tu vas juste tourner en rond.

Peut-être pour le cas particulier z = 5 à la limite...

Moi j'attends que Iansus nous dise d'où il sort son problème avant de faire quoi que ce soit .

[Iansus]

En effet, tous les triplets suivants sont solutions:
(0, n, 2^(n+3) - 1)
(1, n, 2^(1+n+3) - 3)
(2, n, 2^(2+n+3) - 9)
(3, n, 2^(3+n+3) - 27)
.
.
.
donc pour x = k:
(k; n; 2^(k+n+3) - 3^n)

Encore du tournage en rond...

Tu veux dire les triplets (k; n; 2^(k+n+3) - 3^k) ?

D'ailleurs, je me suis rendu compte avec conficius que j'avais fait une légère erreur dans l'énoncé. L'équation que j'aurais normalement du vous proposer n'avait pas 3 inconnues, mais 4 !
Mais bon, si nous arrivons à résoudre celle-ci, peut-être cela donnera-t-il des pistes pour l'autre ?

[Conficius]

Si c'est possible de trouver une autre forme des solutions, alors je ne pense pas qu'on ai le niveau alors.

Mais je m'intéresse au cas ou z = 5, la il n'y a que 2 solutions avec y négatifs, et c'est tout.

[Iansus]

Dans le problème à l'origine de l'équation, x et y sont positifs...

[Conficius]

En effet, tous les triplets suivants sont solutions:
(0, n, 2^(n+3) - 1)
(1, n, 2^(1+n+3) - 3)
(2, n, 2^(2+n+3) - 9)
(3, n, 2^(3+n+3) - 27)
.
.
.
donc pour x = k:
(k; n; 2^(k+n+3) - 3^n)

Encore du tournage en rond...

Tu veux dire les triplets (k; n; 2^(k+n+3) - 3^k) ?

Oui

Oui x et y sont positifs. J'espère qu'on peut trouver une solution élémentaire à ce problème...
Peut être qu'on peut regarder modulo 10 car si z = 5, alors 2^X - 3^Y se finit soit par 0 ou 5...

[Iansus]

Je ne te suis plus, s'il se termine par 0 ou 5, il faut regarder modulo 5 non ?

Edit : j'ai rien dit, merci conficius...

[Conficius]

On peut aussi m'enfin... je voulais dire modulo 10 car pour connaître le chiffre des unités d'un nombre, il faut regarder modulo 10.

[Conficius]

Voilà une solution pour le cas ou z = 5, c'est assez long donc je vais passer sur quelques trucs.

On a 2^(x+y+3) - 3^x = 5
On a x+y+3 >= 1, supposons alors x >= 1.
Donc on peut réécrire l'équation comme : 2X - 3Y = 5 où X = 2^(x+y+2) et Y = 3^(x-1).
Cela se résout rapidement et on obtient X = 3k +4 et  Y = 2k + 1, pour k entier relatif.
Donc 3^(x-1) = 2k + 1
        2^(x+y+2) = 3k + 4    <=> 4[2^(x+y) - 1] = 3k
4 divise 3k donc k = 4k' d'où 2^(x+y) - 1 = 3k' et 3^(x-1) = 8k' + 1
On a 2^(x+y) = 3k' + 1
Or 3k' + 1 est une puissance de 2 que si k' = [4^(n+1) - 1]/3
On a aussi : 3^(x-1) = 8k' + 1
Or 8k' + 1 est une puissance de 3 que si k' = (9^u - 1)/8
Donc (9^u - 1)/8 = [4^(n+1) - 1]/3
On trouve les couplets (u;n) = (0; -1) et (1;0)
De là on remplace et on résout et on trouve et les couplets (x;y) = (1; -1) ou (3; -1)

Mais comme dans le problème d'origine x et y sont positifs, alors il n'y a pas de solutions...

J'espère ne pas avoir fait d'erreur...

[Iansus]

Bien joué Conficius !
C'est un beau raisonnement, et c'est vrai que passer par les équations diophantiennes du type ax+by=c est une bonne idée !

[Conficius]

Bien joué Conficius !
C'est un beau raisonnement, et c'est vrai que passer par les équations diophantiennes est une bonne idée !

Merci

Un truc, l'équation d'origine est une équation diophantienne. Je pense que tu voulais dire "passer par les équations de la forme ax + by = c"