[Conficius]

Bon alors, voici une solution pour le système suivant  dans R :
(x+y)^3 = z
(x+z)^3 = y
(y+z)^3 = x

Solution :

Sans perte de généralité on peut supposer que x <= y <= z

Donc x+y <= z + y, comme la fonction cube est croissante sur R alors (x+y)^3 <= (z+y)^3, et par hypothèse, on a donc z <= x, mais on a supposer que x<=z donc x=z, et de même on montre que x=y=z, on remplace et on trouver (2x)^3 = x <=> x(8x² - 1) = 0
On trouve ainsi les triplets (x;y;z) = (0;0;0) ou (1/sqrt8; 1/sqrt8; 1/sqrt8) ou (-1/sqrt8; -1/sqrt8; -1/sqrt8).

C'est ça ce que j'appelle une démonstration  ABC528.

[Conficius]

Solution pour la 3e équation du premier post :

On a 0 < 1/(2+z+1/y) <= 1 donc x < x + 1/(2+z+1/y) <= x + 1
                               <=> x < 5/4 <= x+1 d'où x = 1 car si x > 2 alors 2 < 5/4 absurde
Ainsi 1/(2+z+1/y) = 1/4

Comme 0 < 1/y <= 1 alors 2+z < 2 + z + 1/y <= 3 + z donc 2+z < 4 <= 3 + z
Si z = 0 absurde donc z = 1
Et on trouve en remplaçant  y = 1.

D'ou (x,y,z) = (1;1;1)

[Iansus]

Ne donne pas la solution de 7x² + 4^y = 2xy, je travaille dessus.

Bon, alors, déjà, j'ai réussi à prouver que les solutions, si solutions il y a, sont strictement positives.
Je mets la démonstration de cette partie si vous voulez.

[Iansus]

Démonstration :

    7x² + 4^y = 2xy
<=> 4^y = 2xy - 7x²
<=> 4^y = x(2y-7x)

Or, 4^y est un nombre strictement positif, donc x a le même signe que 2y-7x.

- Si x = 0, alors x(2y-7x) = 0. Or, quelque soit le réel y, 4^y est non nul, donc il n'y a pas de solutions pour x=0.
- Si x < 0, alors 2y-7x < 0 donc y < 7x/2 < 0. On en déduit donc que 0 < 4^y < 1. Or, x et 2y-7x sont des entiers, donc leur produit est entier et ne peut être alors égal à 4^y. Il n'y a donc pas de couples solution pour x<0.

[Conficius]

- Si x < 0, alors 2y-7x < 0 donc y < 7x/2 < 0. On en déduit donc que 0 < 4^y < 1. Or, x et 2y-7x sont des entiers, donc leur produit est entier et ne peut être alors égal à 4^y. Il n'y a donc pas de couples solution pour x<0.

Je rappelle juste que l'équation est à résoudre dans N².
En fait cette équation n'est pas très intéressante...

[Iansus]

- Si x < 0, alors 2y-7x < 0 donc y < 7x/2 < 0. On en déduit donc que 0 < 4^y < 1. Or, x et 2y-7x sont des entiers, donc leur produit est entier et ne peut être alors égal à 4^y. Il n'y a donc pas de couples solution pour x<0.

Je rappelle juste que l'équation est à résoudre dans N².
En fait cette équation n'est pas très intéressante...

D'après ton PDF, c'est dans Z² !

[Conficius]

- Si x < 0, alors 2y-7x < 0 donc y < 7x/2 < 0. On en déduit donc que 0 < 4^y < 1. Or, x et 2y-7x sont des entiers, donc leur produit est entier et ne peut être alors égal à 4^y. Il n'y a donc pas de couples solution pour x<0.

Je rappelle juste que l'équation est à résoudre dans N².
En fait cette équation n'est pas très intéressante...

Pe

D'après ton PDF, c'est dans Z² !

Peu importe, alors résolvons là dans Z². En fait dans le premier message du topic j'ai marqué dans N, mais ça change rien.