BAAL, on parle de la mauvaise équation, moi je suis resté à l'équation d'origine, j'avais pas fait gaffe à la modification. Le triplet marche dans l'équation d'origine.

Mais bon, en fait, cette équation n'a pas trop d'intérêt car elle possède une infinité de solution de la forme :
(x;y;z) = (k;n; 2^(n+k) - 3^(k)).
Toutes les solutions que je propose sont justes des cas particuliers de ce triplet. Sa ne fait donc pas avancer le problème, et je suis sûr qu'on ne peut pas avancer plus loin. BAAL a raison dans un sens.

Si z = 3m
   Si x  >= 1, pas de solution car 3 ne divise pas une puissance de 2
   Si x = 0, on a (0; 2n+2, 4^(n+1))

Si z = 3m + 1
    Si x >= 1, (k; 2n + 2 - k ; 4^(n+1) - 3^k)
    Si x = 0, je sais plus, un truc dans le même genre

Si z = 3m + 2
     Si x >= 1, (k; 2n+3 -k; 2^(2n+3) - 3^k)
     Si x = 0, pas de solution.

Je ne pense pas qu'il puisse exister des formes vraiment à part.

Ah voilà, j'ai fait une erreur de frappe en marquant sur le forum :
(x;y;z) =  (k; 2n + 2 -k; 4^(n+1) - 3^k)
C'est le cas ou z = 3m + 1

Oui, je corrige ça, je viens de remarquer en même temps.

Apparemment tu n'as pas trop de connaissances autour des équations à solutions entières.
Il n'existe pas en effet un unique triplet qui peut former toutes les solutions, mais plusieurs de formes différentes, et crois moi j'y travaille.

EDIT : d'ailleurs je viens de conclure le cas z = 3m + 1, il me reste le cas ou z = 3m + 2
          Si je prend x = 0, oui ça devient très bête, mais j'ai aussi résolu pour tout x  : (k; 2n + 2; 4^(n+1) - 3^k) pour tout n et k entiers naturels

Salut.

BAAL tu es à coté de la plaque, ce n'est pas une équation où il est impossible d'avoir une formule explicite comme avec les expos etc..
Qu'on soit en math sup ou math spé (prépa), cette équation est difficile, un prépa qui ne suit que le programme ne pourra lui non plus pas trouver une solution.

Et il est évident qu'il faut trouver tous les triplets d'entier (x;y;z). Ces triplets sont de formes différentes.

Voici comment j'ai procéder, je cherche les solutions ou z = 3k, 3k+1 ou 3k+2.
Pour 3k j'ai réussi. Par contre pour les autres, je n'ai que des bouts.
Le fait que j'ai choisi ces formes de z est réfléchi, je sais plus pourquoi d'ailleurs.
Mais on remarque que les nombres de la forme :
(x;y;z) = (0; 2n+3; 2^(2n+3) - 1) sont toujours solutions, et d'autres aussi que je ne met pas maintenant.

Si je comprend bien, tu n'as toi non plus pas fini de la résoudre entièrement ?

Salut, merci de poster un autre topic en rapport avec les mathématiques ^^

Alors pour ton équation, j'ai plein de pistes, d'ailleurs heureusement que ce que tu as dit plus haut, je l'avais déjà trouvé. Je cherche pour l'instant, donc si tu pouvais ne pas donner d'indices stp.

Par curiosité, tu l'as sors d'où cette équation ?

PS : évidemment que c'est d'un niveau supérieur à la spé math, d'ailleurs la spé math n'aide pas beaucoup... un élève de terminal qui ne fait que suivre le programme sans aller plus loin, n'a pas grande chance d'aborder cette équation.

Je poste la solution : http://conficiuskyn.free.fr/equation/EqDiophant1.pdf

Je sais pas pourquoi tu cherches compliqué mais on peut faire plus simplement car on a çà :

(-y^3)(x-y) + x²y(x-y) - x(x+y) = 0

Et de là toutes les factorisation s'enchaînent...

PS : tu peux multiplier par (x+y) oublie pas.

As-tu essayé de calculer le discriminant de paramètre y ?
Si oui il reste encore une autre petite équation à résoudre qui n'est pas très compliquée.
Montre moi ce que tu obtiens car je n'obtiens pas quelque chose qui se complexifie encore plus...

Si un facteur permet de déduire que toutes les solutions de la forme (k;-k) k€Z* sont solutions, alors on peut penser qu'il peut être égal  x+y.
Si on a (x+y)(...) = 0 alors soit ... = 0 ou x+y = 0 => x = -y.

Autre chose, je n'ai pas eu à utiliser x² - y² - x - y.  Mais cette expression est factorisable : x² - y² - x - y = (x+y)(x-y-1)

Merci voilà ce que je cherchais, avec ça je vais pouvoir avancer.

Hum... ça n'est pas très compliqué pourtant, x² - y² - x - y = (x-y)(x+y) - (x+y) après c'est le cours de troisième.

Il existe une factorisation de x²-y² qui est (x-y)(x+y).

Évidemment...

Pour l'expression que vous obtenez Thunderlord et lansus.
Je répète, elle est factorisable  par un facteur particulier qui peut vous donner toutes les solutions de la formes (k;-k) k€ Z.
L'autre facteur est une autre équation à résoudre en considérant un trinôme.
Si vous ne trouvez toujours pas, je vous dévoilerai quel est ce facteur (mais peut-être que vous avez déjà essayer mais que vous avez pensé que ça ne donne rien).

Autre chose, je n'ai pas eu à utiliser x² - y² - x - y.  Mais cette expression est factorisable : x² - y² - x - y = (x+y)(x-y-1)
Mais il est impossible de faire apparaître le facteur x² - y² en produit de facteurs d'entiers dont on est sûr.
Cependant si on doit résoudre x² - y² - x - y = 0
Alors on peut faire si (x+y)(x-y-1) = 0 <=> (x-y)(x+y)(x-y-1)/(x-y) = 0 <=> (x² - y²)(x-y-1)/(x-y) = 0 <=> (x-y)(x²-y²)(x-y-1) = 0
Il faut que x-y soit différent de 0 dans ce cas.
Et voilà le facteur x² - y²  mais je ne vois pas à quoi ça peut servir.

Ok j'ai tout refait depuis le début, et je pense toucher le but.

Cependant je n'arrive pas à factoriser l'expression x²-y²-x-y, ce qui aiderait car je pense faire apparaître (x²-y²)(....).

Si une telle factorisation existe, je pense avoir la solution.

Je n'ai pas eu à factoriser avec x² - y² et je ne pense pas que ce soit possible.
Réfléchie au facteur qu'il pourrait y avoir, en y réfléchissant on peut trouver car on sait déjà quelque chose à propos des solutions de l'équation. à moins que je me sois trompé (je ne pense pas).
Tu devrais écrire ce que tu obtiens après le développement, car tu as l'air d'être dans une impasse. Ou peut-être que tu t'es trompé en mettant tout sur le même dénominateur ?

Ta factorisation est la bonne, tu es proche, un des facteurs de la factorisation est rapide à traiter, mais l'autre est une autre équation diophantienne à résoudre. Elle n'est pas très compliqué, comme préciser dans mon post précédent, il faut considérer cette équation comme un ****ôme avec comme paramètre y.