[Folcan]

Bonjour à tous !

En me **orthographe !** chier au boulot, je suis tombé sur une théorie des plus etrange :

La théorie de Godwin !

Je cite :

La loi de Godwin est une extension du Reductio ad Hitlerum faisant partie du folklore Usenet. En 1990, Mike Godwin énonça la règle empirique suivante : « Plus une discussion sur Usenet dure longtemps, plus la probabilité d'y trouver une comparaison avec les nazis ou avec Hitler s'approche de un

Y'en a certains qui devraient arreter de penser quand meme...

Et en suivant les liens, on tombe sur :
Théorème d'incomplétude de Gödel

Alors la, si quelqu'un y comprend quelque chose et voudrait bien l'exprimer de facon claire et un peu moins mathematique...

Grossièrement, le premier théorème énonce qu'une théorie suffisante pour faire de l'arithmétique est nécessairement incomplète, au sens où il existe forcément des énoncés qui ne sont pas démontrables et dont la négation n'est pas non plus démontrable : c'est-à-dire qu'il existe des énoncés sur lesquels on sait qu'on ne pourra jamais rien dire dans le cadre de cette théorie.

Théoreme 1 :
Dans n'importe quelle théorie récursivement axiomatisable, cohérente et capable de « formaliser l'arithmétique », on peut construire un énoncé arithmétique qui ne peut être ni prouvé ni réfuté dans cette théorie.

Théoreme 2 :
Si T est une théorie cohérente qui satisfait des hypothèses analogues, la cohérence de T, qui peut s'exprimer dans la théorie T, n'est pas démontrable dans T.

source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_G%C3%B6del

J'y comprend que dalle !

[Nebelmann]

Je crois que ce qu'il veut dire, c'est qu'une théorie en mathématiques est toujours basée sur des choses que tu ne peux pas démontrer : par exemple, une théorie peut utiliser le fait que 3+2=5 (très simplifié ), mais tu ne peux pas démontrer que 3+2=5, c'est une 'convention'. De même tu ne peux pas démontrer que 3+2 != 5...

[lordOric]

La théorie de Godwin !

Extrêmement courant sur Usenet. Plus particulièrement, le Point Godwin :

Code:

Vous venez de remporter 1 (un) Point Godwin.

         +--------------+  
         |   1 POINT    |  
         |   GODWIN     |  
         +--------------+  

Pour emporter votre prix, munissez vous d'un 
burin et d'un marteau, et découpez suivant les 
pointillés directement sur l'écran.

Et en suivant les liens, on tombe sur :
Théorème d'incomplétude de Gödel

Ah oui, mais non. Ça par contre, c'est tout à fait sérieux.

[Chilly]

Folcan suis ton propre lien et tu vas comprendre le théorème de Godel

[noitan]

Pour Gödel :

Theoreme 1 :
En gros sa veut dire que sur n'importe quelle tartine tu peux étaller du nutella.

Theoreme 2 :
Si tu reflechis trop tu vas te faire piquer ta tartine.

[neoflo]

Godel a donné plusieurs théorème :

1. Il n'est pas dit que tu ne puisses pas trouver une contradiction avec un système cohérent d'axiome mathématiques. C'est à dire qu'il est possible d'arriver à 1=2 en gros.

2. Cela signifie qu'avec un bon système d'axiome, il y a des problèmes qui ne sont pas démontrables. Un exemple classique étant l'hypothèse du continue :
 
 On cherche un ensemble E tel que Z (entier relatif) soit inclu dans E et E soit inclu dans R (réel) et que E ne soit ni isomorphe à R, ni isomorphe à Z.
 
 Ce problème est indécidable, l'hypothèse du continu consiste à dire qu'il n'existe pas un tel ensemble.

Je crois que personne ne m'a compris...

[Folcan]

Effectivement...

[neoflo]

En même temps, c'est un exemple tellement complexe que c'est très dur d'être compris pas qqn qui n'a pas un assez bon niveau de maths. Donc, on peut pas dire que c'est de ma faute

[S0410N3]

http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./h/hypothese_du_con.html
http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./c/cardinal.html

En gros pour que ça marche il faudrait que le cardinal (nombre d'éléments) de E soit le même que celui de Z et que celui de R, ce qui est impossible car le cardinal de R est plus grand que celui de Z (R ne peut pas être mis en bijection avec Z)
C'est une contre-démonstration par encadrement en quelque sorte.

[neoflo]

On parle parfois de cardinal, mais c'est un peu abusif car le cardinal n'est définie que pour un ensemble fini.

Sinon, oui : deux ensembles sont isomorphes si et seulement si il existe une bijection entre ces deux ensembles.

par exemple, N et Z sont isomorphes, ainsi que N et Q (ensemble des entiers relatifs).

Pour prouver ça, on utilise le fait que Q et N² sont isomorphes.
Puis ensuite compter les éléments de N² (l'ensemble des couples de N) en diagonal comme suit :

6...
37...
148...
0259........

On peut ainsi créer une bijection entre N² et N et montrer que N et Q sont isomorphes.  On pourrait dire ainsi par abus de langage que N et Q sont de même cardinalité.

Mais là je m'éloigne du sujet.

Donc en gros, le problème qui n'est pas démontrable.
C'est de trouver un ensemble E entre R et N tel qu'il n'existe aucune bijection de E dans R ou de E dans N.

[ivantxoa]

je crois que pour comprendre la bijection et les isomorphismes en mathématiques on peut le vulgariser en visualisant par exemple les ensembles de nombres comme des boites de différentes tailles.
par exemple R (nombres réels )est une grande boite qui contient la boite N (des entiers naturels : 0,1,2...) et qui contient aussi par exemple la boite Z (des entiers relatifs : ... -2 -1 0 1 2 ...).
Donc maintenant il s’agit de prendre deux ensembles donc une boite E et une boite F.
chacune de ses boites contient des éléments distincts ou différents l'un de l'autre.

une fonction f est bijective sur E si pour n'importe quel élément de la boite E on a :
si f(x) = f(y) alors cela équivaut à x=y et inversement...

donc en extrapolant deux ensembles sont en bijections si il existe une fonction pour laquelle la propriété de la bijection marche ! (ceci est vulgarisé car les conditions initiales étant étendues à des ensembles et non à des éléments d'un seul ensemble bien déterminé celles ci sont légèrement plus complexes...)

pour le reste et l’isomorphisme les propos de neoflo font le reste...

voila j’espère que cela peut aider et complète les propos de neoflo ;-)

Tchuss

(p.s : Nebelmann a dit que une théorie peut utiliser le fait que 3+2=5 (très simplifié smile), mais tu ne peux pas démontrer que 3+2=5 ! en fait si et c justement ce à **No Sms** sert l'algèbre pure !!!)