[Conficius]

Saluts.

Bon je ne sais pas si les mathématiques sont aimés par du monde ici ou pas, mais comme ça se rapproche de l'informatique (ou pas ?), on va quand même tenter (d'ailleurs je n'ai pas encore vu de sujet identique).

Il s'agit de résoudre une équation diophantienne, c'est à dire une équation dont les solutions doivent être des nombres entiers.

Résoudre dans Z (c'est à dire dans l'ensemble des entiers relatifs) : http://conficiuskyn.free.fr/eq.png

Bonne chance à tous.

PS : je ne demande pas un bruteforce, mais une démonstration mathématique, sinon c'est trop facile...

[mogg41]

Salut Conficius.

J'aime les maths mais je dois avouer que mon niveau n'est pas suffisant pour résoudre cet équation.

Après avoir cherché en vain sur google, j'ai remarqué que l'équation à résoudre ne correspond à aucunes de celles utilisées dans les différents théorèmes:
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diophantienne

Je suppose qu'il faut donc modifier l'équation en factorisant/développant, en faisant un changement de variable...

Peut être en passant par les équations différentiels (je dit peut être une connerie hein!!).

En tout cas bon courage.

Mogg

[Conficius]

Après avoir cherché en vain sur google, j'ai remarqué que l'équation à résoudre ne correspond à aucunes de celles utilisées dans les différents théorèmes:
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diophantienne

Je suppose qu'il faut donc modifier l'équation en factorisant/développant, en faisant un changement de variable...

Peut être en passant par les équations différentiels (je dit peut être une connerie hein!!

Ce genre d'équations requiert de l'entraînement.
Mais pas besoin d'équations différentiels ! (d'ailleurs ça s'utilise peu)
Mais tu as raison sur le fait de réécrire l'équation sous une autre forme.
Le niveau de première S est suffisant, mais en première on n'a pas l'expérience nécessaire, ni en Terminal S d'ailleurs. La spécialité Math de terminal peut servir (enfin très peu car si quelqu'un qui sait résoudre x² - y² = 1, alors il connaît la "chose" pour l'équation proposée ici). D'ailleurs étant moi même en terminal, je pense que plusieurs personnes ici peuvent l'aborder. Mais c'est tout à fait vrai que ça s'adresse à des personnes courageuses
Il suffit de chercher, de réécrire de plusieurs façons, les connaissances de prépa ne sont pas utiles (juste l'expérience, ou pas ?)

[mogg41]

Alors là j'ai honte!!!

Je suis en 2ème année de DUT Réseaux et Télécommunications avec une bonne moyenne en math et je m'avoue impuissant devant cette équation.

Je n'avais jamais entendu parler d'équation diophantienne. A mon avis il faut faire des changements de variable à tour de bras afin d'utiliser les théorèmes connues.

Je peux pas t'aider et de plus je n'ai pas vraiment la motivation pour le faire (je suis en vacances  ).

Si tu arrives à la résoudre je suis preneur de la solution.

Mogg

[CommComm]

Bonjour,

Je ne suis pas certain d'avoir bien compris. Si je lis bien (?), il y aurait une infinité de solutions ("au moins", comme dit l'autre !). Quand x = -y (à part 0), le premier membre est égal à -1. Dans le deuxième membre de l'équation, (x²-y²) donc (x²-y²) *(y/x) = 0 et on reste avec 1/(-1) = -1.
J'ai dû louper quelque chose...

[Conficius]

Bonjour,

Je ne suis pas certain d'avoir bien compris. Si je lis bien (?), il y aurait une infinité de solutions ("au moins", comme dit l'autre !). Quand x = -y (à part 0), le premier membre est égal à -1. Dans le deuxième membre de l'équation, (x²-y²) donc (x²-y²) *(y/x) = 0 et on reste avec 1/(-1) = -1.
J'ai dû louper quelque chose...

En effet, on voit que ce sont des solutions entières. Mais s'il y en a d'autres, il faut les trouver, et si les solutions de CommComm sont les seules,  il faut le démontrer avec une preuve mathématique ! Sinon c'est facile de voir que ces solutions marchent.

[bibijosh]

D'après mes calculs (oui, ça m'a bien occupé aujourd'hui  ) 1 et -1 sont les seuls ENTIERS, les autres solutions sont des réels. J'espère ne pas avoir fait d'erreur (j'en fait vraiment beaucoup avant d'en arriver à cette conclusion...)

Et dire qu'il y a quelques années de ça, ça m'aurait presque paru facile     ...J'me sens vieille....

[Conficius]

D'après mes calculs (oui, ça m'a bien occupé aujourd'hui  ) 1 et -1 sont les seuls ENTIERS, les autres solutions sont des réels.

-1 et 1 sont aussi des réels, enfin bon, à croire que tu n'as pas lu le post de CommComm, il y a évidemment d'autres solutions à part -1 et 1, les couples : (-2;2) (-3;3)... etc sont aussi solutions, tu t'es trompé dans tes calculs 

Enfin, content que ça interesse quelqu'un au moins 
 
Bonne chance.

[bibijosh]

J'avais très peur de cette réponse....

-1 et 1 sont aussi des réels

tous les entiers sont des réels, mais tous les réels ne sont pas des entiers....

Je t'avoue que je n'ai fait que survoler son post, et voilà le résultat 

[Conficius]

Devrais-je poster la solution (car ça n'interesse pas ^^) ou donner un indice ?

[ThunderLord]

Oui un indice ne serait pas de refus, tout ce que j'ai réussi à faire jusqu'à maintenant c'est démontrer que tous les couples sous la forme (x;y) tel que x=-y sont solutions et qu'aucun couple (x;y) tel que x=y n'est solution de cette équation.

Résoudre dans Z (c'est à dire dans l'ensemble des entiers relatifs) : http://conficiuskyn.free.fr/eq.png

Juste une petite précision, c'est résoudre dans Z² car tu cherche un couple d'entier (x;y) et pas simplement une seule inconnue (avec y différent de 0 bien évidemment).

[Conficius]

Résoudre dans Z (c'est à dire dans l'ensemble des entiers relatifs) : http://conficiuskyn.free.fr/eq.png

Juste une petite précision, c'est résoudre dans Z² car tu cherche un couple d'entier (x;y) et pas simplement une seule inconnue (avec y différent de 0 bien évidemment).

En effet, merci je corrigerai plus tard cette oublie.

Un indice : il est facile de montrer que tous les couples (k;-k) k € Z sont solutions. Mais pour les autres ? en fait il suffit de modifier l'équation pour pouvoir factoriser et mettre l'équation sous la forme F(x) = c, c étant une constante et F(x) étant un produit de facteurs. Ensuite on prend au cas par cas. Si un moment tu bloques  sur une équation (en effet il y en a une autre mini à résoudre) tu peux demander. Ce n'est que de la manipulation algébrique.

[ThunderLord]

en fait il suffit de modifier l'équation pour pouvoir factoriser et mettre l'équation sous la forme F(x) = c, c étant une constante et F(x) étant un produit de facteurs.

Je ne vois pas comment obtenir une constante, surtout avec la forme de l'équation de départ. Après plusieurs heures de recherche j'aboutis à une équation de degré 4 à deux inconnues :

(-1/x)y^4 + y^3 -xy² + y + x = 0

si les coefficients étaient des réels, cela se résoudrait facilement mais vu que ce sont des inconnues, ça complexifie la chose.

[Conficius]

Je pense que tu as dû te tromper quelque part, car l'expression que l'on a initialement est bel et bien factorisable. Développer le tout et factoriser. Mais un des facteurs de la factorisation est une autre équation à résoudre où il faut considérer un ****ôme.
Essaye plusieurs factorisation, tu arriveras forcément à la bonne

PS : pour l'expression que tu as, je ne pense pas que ce soit, si tu as fait la même chose que moi, tu dois avoir un terme en plus.

[ThunderLord]

Effectivement après relecture il manquait bien un terme, mais il ne simplifie pas le problème. j'obtiens :

(-1/x)y^4 + y^3 +xy² + (1-x²)y + x = 0

Sinon pour pouvoir factoriser il y a effectivement une solution mais elle ne conduit nul part. Je pensais déjà à rendre l'expression rationnelle en multipliant le numérateur du 2ème membre par y et le dénominateur par x. Après l'inconvenant c'est qu'on se retrouve avec des membres où il y a à la fois des x et des y mais jamais uniquement les 2, ce qui fait que si on veut factoriser l'integralité de l'expression par x ou y, on se retrouve avec des fractions et pour une équation diophantienne c'est pas top, surtout que ça n'arrange pas l'expression.

Je serait bien curieux de connaître comment tu arrives à une constante, juste avec de la manipulation algébrique.