NewbieContest

Salut, je propose ces équations qui ne sont pas très compliquées, j'ai trouvé d'ailleurs 2 démos pour la première :

Résoudre dans N : 7x² + 4^y = 2xy

Résoudre dans R le système suivant :
                                                     (x+y)^3 = z
                                                     (x+z)^3 = y
                                                     (y+z)^3 = x

Résoudre dans N : x + 1/(2 + z + 1/y) = 5/4

Je pense que ça ira, j'en ai d'autres si ça intéresse  :wink:

PS : voici plusieurs autres équations : http://conficiuskyn.free.fr/ed.pdf (http://conficiuskyn.free.fr/ed.pdf)

hum, si je voulais faire faire mes exercices de math par quelqu'un d'autre je m'y prendrais comme ca aussi :)

le sadisme mathématique légendaire de Conficius est de retour !
Je m'y attaque dès que je peux !

Crois moi akway, Conficius n'est pas du genre à faire faire ses DM par les autres.

Je n'irais certainement pas sur Newbie contest pour ça...
Et d'ailleurs ce n'est pas vraiment possible d'avoir ces équations en DM puisque la première et la troisième, je viens de les "inventer" et la deuxième est un classique.

Merci Iansus ^^

Comme je l'ai dit, ces équations ne sont pas très compliqué, il faut passer un peu de temps mais on trouve.

(x+y)^3 = z
(x+z)^3 = y
(y+z)^3 = x

x = 0
y = 0
x = 0

J'ai trouvé que cette solution pour l'instant ^^

C'est une solution, mais pas la seule ^^
Merci d'avoir répondu, je commençais à désespérer de l'inutilité de ce topic  :P

Il y a une façon très rapide de résoudre ce système, on voit qu'une symétrie est présente, c'est à dire que si l'on suppose x<=y<=z c'est la même chose que y<=z<=x.

Donc essaye de trouver quelque chose en supposant x<=y<=z.

oui, mais le seul soucis, c'est que mon niveau ne me permet pas d'aller plus loin, sinon pour la première équation, je dit : il n'existe pas de solution parmis l'ensemble des entiers naturels...

Pardon je voulais dire que x=z=y=0 n'est pas la seule solution.
Il n'y a pas besoin d'avoir un niveau en math excellent pour résoudre ces équations... les connaissances de première suffise (et encore...).
T'es où niveau étude ?

Sinon en effet, il n'existe pas de solution pour la première mais reste à démontrer.
Indice : second degrés

Je suis en seconde, mais j'aime essayer :)

Je vais essayer de trouver une autre solution, pour la troisième je cherche encore :)

Double post, mais sa vaut le coup :

La troisième :

x = 1; y = 1; z = 1

Je dirais que c'est la seule solution...

En effet, c'est bien la seule, mais reste encore à démontrer...

En seconde, ça risque d'être un peu difficile si tu ne prends pas de recul sur la matière. Mais tes connaissances sont suffisantes.
Indice : on sait que 0 < 1/x <= 1 pour tout x strictement positif.

voilà une explication =

Résoudre dans N : x + 1/(2 + z + 1/y) = 5/4

N sont tous les entiers naturels (0,1,2,3,4,...+infini),
On sait que x ne peut pas être égale à 0, car sinon il reste 1/quelque chose, alors que l'équation est égale à 5/4
ensuite si on prend x > 1, donc 2,3,4..., c'est impossible puisque 5/4 < 1...
Donc on sait déjà que x = 1.
Ensuite il faut que : 2+z+1/y = 4, sachant toujours que chaque nombre est un entier naturel, on voit clairement que z et y ne peuvent être égales qu'a 1. (si z ou y sont supérieurs à 1 (dans les entiers naturels), le résultat serait > ou < à 4)
Donc x = 1: y = 1; z = 1

Bien joué ! même si tu as transformé la démonstration rigoureuse qu'il fallait dire en explication boîteuse  :P
En fait, il fallait juste considérer une suite d'inégalité.

PS : N est l'ensemble des entiers naturels.

merci, c'est vrai que mon explication est pourrie, mais bon, en faîte suffit d'être logique,
Merci à toi pour ces équations, elle m'ont fait remuer les neurones, je continue de chercher pour la troisième, :)
PS : si tu veux bien m'envoyer les autres que tu as par mp, ou les poster, merci :)

Très bien alors je propose plusieurs autres équations dans un PDF que je suis en train de faire, j'ai délibérément supprimer les solutions :

http://conficiuskyn.free.fr/ed.pdf (http://conficiuskyn.free.fr/ed.pdf)

Bonne chance

Je te remercie :)

Edit :

Premier exo :

x = -1; y = -1

x = -1; y = 1

x = 0; y = 0

x = 1; y = 1

Deuxième exo :

Pas de solution

Troisème exo :

x = 1; y = 1; z = 1

Pour le premier exo je trouve comme ABC528, les couples (p;q) tel que |p|=|q|= 1 et le couple (0;0)

Edit: tu as oublié x=1 et y=-1 dans tes solutions

Pour l'exo 1 c'est ça, le 2 aussi, et de même pour le 3. Je pense que c'est la 5 celle qui est la plus difficile.

Je posterai plus tard une solution pour les équations proposés dans le premier message du topic.

Quatrième : pas de solution

Et la démonstration alors ?
Car pour moi, (1;-1) ou (9000; -9000) sont solutions...
Poste tes démonstrations si tu en as ;p car ce n'est pas intéressant de poster le résultat, c'est pas ça qui compte.

excuse, en effet, j'avais pris juste N,
voilà : infinité sous forme (x;-x)
sinon la cinquième je bloque, je dirais pas de solution mais je saurais pas l'expliquer
en tout les cas merci, continue :)

Exercice 1:

Supposons q!=0

(1) <=> p²+q² = 2p²q²
     <=> p² + 1 = 2p²
     <=> p=1 ou p=-1

De même supposons p!=0

(1) <=> q=1 ou q=-1

De plus, on remarque que le couple (0;0) vérifie l'équation, les solution sont donc les couples (p;q) tels que |p|=|q|=1 et le couple (0;0)

ABC528 poste tes démonstrations, c'est plus intéressant qu'un résultat.

Erreur, p² + q² = 2p²q² <=> p²/q² + 1 = 2p²

Mais ça revient au même, tu peux quand même voir quelque chose dans ça, regarde bien.

Pour la 5, en effet pas de solutions dans N, dans Z il y en a 2.

(correction)
Exercice 1:

Supposons q!=0

(1) <=> p²+q² = 2p²q²
     <=> p²/q² + 1 = 2p²
     <=> p²(2-1/q²) = 1
     <=> (p² = 1 et 2-1/q² = 1) ou (p²=-1 impossible ! et 2-1/q² = - 1 <=> q² = 1/3 impossible car car q est un entier)
     <=> p = 1 et 1/q²=1 donc q²=1
     <=> p=1 ou p=-1 et q=1 ou q=-1

De plus, on remarque que le couple (0;0) vérifie l'équation, les solution sont donc les couples (p;q) tels que |p|=|q|=1 et le couple (0;0)

Je serai contre car un produit de facteurs est entier que si ses facteurs le sont, m'enfin... on va dire que ça marche. Sinon j'avais 2 autres solutions, une en factorisant (classique) car <=> (2q² - 1)(2p² - 1) = 1 et une autre en considérant le PGCD(p;q) puis en regardant modulo p' et q', c'est celle que je préfère d'ailleurs.

Tu vois dans ce que tu as à partir de p²/q² + 1 = 2p² on peut juste que p²/q² = 2p² - 1 est entier donc q²/p² et de même on a q²/p² donc q²=p², on remplace et on résout.

Dans la 6 iéme équation, je pense y'a pas mal de solution :

pour x = -k, y=(0,-k),  z=0
pour z = 1, y = -b, z= -b²)
pour x = -1, y = (0,10) z= y²
y'en a encore  deux je crois...

Plus cette solution :

x = 0; y = 0; z = infini

Bah ya une infinité de solutions

oui,

pour la 7 :

x = 1; y = 1
x = 2; y = 2

pour la 8 :

pour x=k, y=p
Infinité de solutions

pour la 9 :

x = -1; y = 0

Sans vouloir être méchant, tu es en train de flooder le topic -.-
Je vois bien que t'es en train de chercher, mais à la place je te conseille, d'aller faire un tour sur le programme d'arithmétique de spécialité math de terminal, les connaissances de premières et terminal tronc commun ne sont pas nécessaires. Quand tu auras vu ça, fais des exos d'entrainement, et après revient avec des démonstrations. Je suis bien au courant que NC n'est pas un site destiné à ça, mais sinon ce topic n'a aucun intérêt car il suffit de bruteforcer pour trouver les solutions. Et d'ailleurs, le couple (1;3) est aussi solution.

explication du troisième exo :

x + 1/(2 + 1/y + z) = 5/4

Sachant que chaque variable doit-être dans N pour être considéré comme solution :

On peux pas prendre x = 0 , sinon il resterait 1/? et l'équation est égale à 5/4,
Ensuite si on prend x > 1, impossible car le résultat serait > 2 et 5/4 <2, donc impossible
On en déduit que x doit être égale à 1 pour continuer...

après, 2+1/y+z doit être égale à 4, on a déjà 2, il nous manque encore 2, donc faut qu'on puisse faire 2 avec 1/y+z, je vois qu'une solution : y = 1 et z = 1...

donc x = 1, y = 1, z =1

Voilà un exemple d'explication...
je vais pas passer ma vie à rédiger :)


 

Très bien alors tiens pour toi, si tu ne veux pas passer ta vie à rédiger, tu ne pourras pas la passer à chercher aussi :

Existe t'il un quadruplet solution de x² + y² + z² + w² = 2xyzw + 1986 avec x,y,z,w > 1986 ?

je dirais non...

Allez hope c'est l'heure de coder

non, je dirais non par intuition et par pure logique :

x² + y² + z² + w² = 2xyzw + k avec x,y,z,w > k, n'a aucune solution (sachant que k est = à 1986)

ha moins que tu me prouve le contraire ? :)

Aucune idée je n'ai pas réfléchi à ce problème.

Sinon plus facile : résout pour n > 2 et pour x,y,z > 0 l'équation x^n + y^n = z^n

pas de solution...

C'est la seule équation où je ne te demanderai pas de solution puisqu'elle fait 1000 pages et qu'environ 200 personnes peuvent la comprendre. Bon on arrête de flooder maintenant.

On est pas dans le défouloir où l'on doit dire des choses inintéressantes... ?
[] -> je sors  :D

Hmmm, je dirais que c'est le grand théorème de Fermat ! Il a résisté 300 ans aux mathématiciens !
Par contre, l'exercice intéressant est de chercher tous les triplets (x,y,z) de NxNxN qui vérifient x²+y²=z² !

Ces triplets sont appelés triplets Pythagoriciens.

Oui et c'est bien pour ça que j'ai proposé cet exercice ironiquement puisque je pense qu'ici et voire même à 200km à la ronde de chez vous, personne n'est pas capable de démontrer ce théorème...

Sinon voici l'équation de Ramanujan :
x² + 7 = 2^n dans Z.

x est un nombre impair, car 2^n est pair, donc 2^n-7 est impair, d'où le fait que x soit impair.
pour l'instant je vois en couple (x,n) évidents (1,3) , (3,4) , (5,5) et (11,7), mais je vais réfléchir à la suite.

Je te conseille plutôt de réfléchir aux autres équations qui sont plus abordables je pense...
Si je me souviens bien, il n'y pas de solution à cette équation au-dessus de 2^15

C'est vrai que Ramanujan est une figure des mathématiques, et je m'attends donc à une démonstration de haut niveau.
Pour ceux qui ne connaissent pas, on lui doit des formules mathématiques très élaborées, dont certaines reliant le nombre Pi et le nombre e (= exp(1)).

Une autre concerne les nombres Taxicab, qui, selon l'anecdote, auraient été trouvés par Srinisiva Ramanujan, alors à l'hôpital, qui a reçu la visite du mathématiciens Hardy, qui lui aurait signifié l'inintéressant numéro de Taxi 1729.
Ramanujan aurait alors répondu que « c'est un nombre très intéressant ; il est le plus petit nombre exprimable comme une somme de deux cubes positifs en deux manières différentes.»

Voilà pour l'aspect historique !

Et bah ça fait toujours plaisir d'avoir affaire à un connaisseur  :D

Mais c'est qu'une partie infime de ce qu'il a fait vraiment.
D'ailleurs 1729 = 10^3 + 9^3 = 1^3 + 12^3

Oui je crois aussi ...

Bon alors, voici une solution pour le système suivant  dans R :
(x+y)^3 = z
(x+z)^3 = y
(y+z)^3 = x

Solution :

Sans perte de généralité on peut supposer que x <= y <= z

Donc x+y <= z + y, comme la fonction cube est croissante sur R alors (x+y)^3 <= (z+y)^3, et par hypothèse, on a donc z <= x, mais on a supposer que x<=z donc x=z, et de même on montre que x=y=z, on remplace et on trouver (2x)^3 = x <=> x(8x² - 1) = 0
On trouve ainsi les triplets (x;y;z) = (0;0;0) ou (1/sqrt8; 1/sqrt8; 1/sqrt8) ou (-1/sqrt8; -1/sqrt8; -1/sqrt8).

C'est ça ce que j'appelle une démonstration  ABC528.

Solution pour la 3e équation du premier post :

On a 0 < 1/(2+z+1/y) <= 1 donc x < x + 1/(2+z+1/y) <= x + 1
                               <=> x < 5/4 <= x+1 d'où x = 1 car si x > 2 alors 2 < 5/4 absurde
Ainsi 1/(2+z+1/y) = 1/4

Comme 0 < 1/y <= 1 alors 2+z < 2 + z + 1/y <= 3 + z donc 2+z < 4 <= 3 + z
Si z = 0 absurde donc z = 1
Et on trouve en remplaçant  y = 1.

D'ou (x,y,z) = (1;1;1)

Ne donne pas la solution de 7x² + 4^y = 2xy, je travaille dessus.

Bon, alors, déjà, j'ai réussi à prouver que les solutions, si solutions il y a, sont strictement positives.
Je mets la démonstration de cette partie si vous voulez.

Démonstration :

    7x² + 4^y = 2xy
<=> 4^y = 2xy - 7x²
<=> 4^y = x(2y-7x)

Or, 4^y est un nombre strictement positif, donc x a le même signe que 2y-7x.

- Si x = 0, alors x(2y-7x) = 0. Or, quelque soit le réel y, 4^y est non nul, donc il n'y a pas de solutions pour x=0.
- Si x < 0, alors 2y-7x < 0 donc y < 7x/2 < 0. On en déduit donc que 0 < 4^y < 1. Or, x et 2y-7x sont des entiers, donc leur produit est entier et ne peut être alors égal à 4^y. Il n'y a donc pas de couples solution pour x<0.

Je rappelle juste que l'équation est à résoudre dans N².
En fait cette équation n'est pas très intéressante...

D'après ton PDF, c'est dans Z² !

Peu importe, alors résolvons là dans Z². En fait dans le premier message du topic j'ai marqué dans N, mais ça change rien.   :)