NewbieContest

Voilà une petite équation sympa que j'ai à vous proposer :

http://www.siteduzero.com/cgi-bin/mimetex.cgi?2^{x+y}-3^x=z (http://www.siteduzero.com/cgi-bin/mimetex.cgi?2^{x+y}-3^x=z)

Question : trouvez les couples (x,y) de N² en fonction (ou non) de Z.

Le but n'est pas de déterminer directement la solution. Essayez tout d'abord de trouver quelques couples pour une valeur fixe de Z, puis tous les couples pour cette valeur, puis tous les couples quelque soit Z.

Mais peut-être suis-je vicieux et il n'y a aucune solution, ou peut-être qu'il y en a beacoup...
Cherchez et peut-être vous trouverez !

N'hésitez pas non plus à poster votre démarche ici !

PS: Ceci n'est pas un DM de maths que j'aurai la flemme de faire
PPS : Ce sujet fait suite à celui de Conficius qui, je pense, appréciera celle-ci...

x=0 ; y=0 et z=0.... ça marche nan ?   => []...
Vraiment, je crois qu'il faut jouer sur les bases, les expos et ln/log.

Si 2 - 3 = 0 chez toi alors oui ça marche.

Un nombre à la puissance 0 fait 1 il me semble :
2⁰⁺⁰ - 3⁰ = 1 - 1 = 0

Aller je te pardonne pour cette fois ^^ !


Have Fun (j'ai piqué cette citation à qui ?)
Enjoy (hum... ^^)
 :lol: :D =D

Tout à fait c'est moi qui suis fatigué. Demain interro de maths je suis bien parti...

Ouai on peut pas brute forcer une interro sur feuille... Ni programmer ni hacker ni... On se sent perdu rapidement là ^^.
T'es 47ème, t'es plus un pro que moi alors je sors => []...

 :twisted: :twisted: :twisted:

(HS : c'est quoi être Voice de NC ? t'es modo ?)

Tiens bonne idée ça je vais essayer de trouver une faille dans une question (dédicace à un ami et à un prof de maths spé qui se reconnaitrons)


Je ne suis pas expert de l'IRC mais je crois que ça veut dire simplement que j'ai le droit de parler.

Merde j'ai pas le droit de parler alors  :lol:
Bon j'arrête de pourir le topic :  :D

Bon pour vous avancer, on a pour z=1, le couple (1,1) : 2²-3=4-3=1

Oui mais ce n'est pas le seul pour z=1 il y a également le couple (0;1)

C'est résolu ? 0 c'est nul (sans vouloir faire de jeu de mot^^), mais 1 ça marche parfaitement.
On va dire que ça rapporterai des points je la ferait bien cette épreuve...  :lol:
J'aime bien le principe de cette épreuve, je la vois bien sur NC... (épreuve à 30 points qui va descendre à 7 ou 8 points en peu de temps et stagner à 7 ou 8 points ^^). 8)

Je dis x=5 ; y=5 et z=781... Je crois ne pas avoir bien saisi l'énoncé, c'est une équation à 3 inconnues mais il n'y a qu'une équation ? Je vois pas l'intêret du problème dans le sens où j'interprète l'énoncé.  :rolleyes:

non ce n'est pas résolu, on a trouvé seulement UNE solution pour UNE valeur de Z.

Erratum : L'équation n'est pas à résoudre pour tout Z, vous vous rendrez vite compte qu'il n'y a pas de solution avec Z pair.

En effet, 2=0[2] donc 2^(x+y)=0[2]
Et 3=1[2] donc 3^x=[2]

D'où 2^(x+y)-3^x=1[2]

Z doit donc être impair.

Je modifie donc l'énoncé :

Trouver pour quelles valeurs de Z (ex: 2k+1...) l'équation admet une ou des solutions, et déterminer la forme de ces solutions.

Toi t'es en spé. maths.  :lol:
Je sens que ça n'est pas de mon niveau, je retourne ma veste et demande aux matheux (pas matteur... 8)) de NC de venir à mon secours.

Oui, mais c'est un niveau plus élevé que la spé maths.

Salut, merci de poster un autre topic en rapport avec les mathématiques ^^

Alors pour ton équation, j'ai plein de pistes, d'ailleurs heureusement que ce que tu as dit plus haut, je l'avais déjà trouvé. Je cherche pour l'instant, donc si tu pouvais ne pas donner d'indices stp.

Par curiosité, tu l'as sors d'où cette équation ?

PS : évidemment que c'est d'un niveau supérieur à la spé math, d'ailleurs la spé math n'aide pas beaucoup... un élève de terminal qui ne fait que suivre le programme sans aller plus loin, n'a pas grande chance d'aborder cette équation.

Effectivement !
pour la source de l'équation, je ne peux en dire plus ! Disons que c'est une équation dont je n'ai peut-être pas fait le tour. J'en suis sûrement plus loin que vous, mais disons que l'aide d'esprit matheux peut m'aider à aller jusqu'au bout !

Je pense que l'important pour l'instant est de déterminer les formes possibles de Z !
Un indice: pour chaque valeur de Z, soit l'équation n'admet aucune solution, soit elle n'en admet aucune !

Vous me direz, pour Z=5, l'équation admet (3,2) et (1,2) comme solutions. J'ai alors un peu modifié l'équation pour qu'il n'y ait qu'une seule solution, a priori...

http://www.siteduzero.com/cgi-bin/mimetex.cgi?2^{x+y+3}-3^x=z (http://www.siteduzero.com/cgi-bin/mimetex.cgi?2^{x+y+3}-3^x=z)

la pour Z=5, on n'a plus aucun couple évident. (par ailleurs, un petit bruteforce Python pour x et y entre 0 et 1000 n'a donné aucun résultat).
Il ne semble donc n'y avoir aucune solution pour Z=5... Reste à démontrer.

Pour Conficius, n'hésite pas à nous faire part de tes raisonnements et essais !

Si je comprend bien, tu n'as toi non plus pas fini de la résoudre entièrement ?

Effectivement non, mais j'ai conjecturé une forme de Z pour laquelle l'équation admet toujours une solution.

Je ne suis pas en Terminale lol, déjà à la fac (éh, hein, quand même quoi ^^). Ouai je voulais dire maths spé (prépa) et pas spé maths (lycée...).
Sur ce, je laisse la main aux exprets, et je suis le poste si j'y comprends quelque chose.  :D

Ah ben ça va être difficile de trouver une solution...

Mdr, la trop bonne technique pour dire "j'arrive pas trop ton problème alors je cherche les erreurs de frappe même si j'ai compris quand même", oué je pratique aussi, d'où le célèbre : "x=0 ; y=0 et z=0".
Bien joué BAAL, tu marques +1 là ^^

Je ne suis pas sûr à 100% de ce que j'avance, mais je crois bien qu'il est impossible de trouver une expression générale pour ton problème, on ne peut que trouver des exemples qui marchent, ou au pire prouver qu'il n'y a pas de solution.

Si je te demande de me résoudre le système d'équations suivant tu peux y arriver?

x = ln( (y+3) / 2 )
y = 5x

Je crois que c'est impossible (à moins que je ne dise une grosse connerie parce que mon niveau en maths n'est pas assez avancé).
Tu peux trouver des valeurs approchées par récursivité mais rien de plus.

Par exemple commence par une valeur pour x au hasard, disons x = 5, tu obtiens y = 25, donc x = 2.639, donc y = 13.195, donc x = 2.092, donc y = 10.46, donc x = 1.907, donc y = 9.535, donc x = 1.835, donc y = 9.177, donc x  = 1.806, donc y = 9.032, donc x  = 1.794, donc y  = 8.97, donc x = 1.789, donc y = 8.946, etc... tu vois que ça se stabilise vers deux valeurs.

Ton problème ressemble à ça, à savoir qu'il est impossible d'exprimer x ou y en fonction de z, mais qu'il traînera toujours un x ou un z bloqué dans une exponentielle ou un logarithme.
Toi tu n'as qu'une équation et une contrainte (obtenir des nombres entiers), ainsi la méthode par récursivité ne marche malheureusement pas.

Aux matheux de confirmer.

En effet, le but n'est pas de trouver la solution numérique, mais une solution relative, en suivant ces étapes :

- Déterminer la forme de Z pour que l'équation admette une une solution (ex: 3k+1, 4^4k+1...)
- Trouver alors la forme de ces solutions EN FONCTION DE Z !

Salut.

BAAL tu es à coté de la plaque, ce n'est pas une équation où il est impossible d'avoir une formule explicite comme avec les expos etc..
Qu'on soit en math sup ou math spé (prépa), cette équation est difficile, un prépa qui ne suit que le programme ne pourra lui non plus pas trouver une solution.

Et il est évident qu'il faut trouver tous les triplets d'entier (x;y;z). Ces triplets sont de formes différentes.

Voici comment j'ai procéder, je cherche les solutions ou z = 3k, 3k+1 ou 3k+2.
Pour 3k j'ai réussi. Par contre pour les autres, je n'ai que des bouts.
Le fait que j'ai choisi ces formes de z est réfléchi, je sais plus pourquoi d'ailleurs.
Mais on remarque que les nombres de la forme :
(x;y;z) = (0; 2n+3; 2^(2n+3) - 1) sont toujours solutions, et d'autres aussi que je ne met pas maintenant.

Forcément quand tu prends x = 0 ca devient très bête.

Après pourquoi pas avoir (0; n; 2^n-1) au lieu de (0; 2n+3; 2^(2n+3) - 1) ?

Bref le problème m'a l'air très improvisé, et je maintiens qu'on ne peut trouver de solution générale (pour x général, pas comme dans ce que tu nous a donné).

Apparemment tu n'as pas trop de connaissances autour des équations à solutions entières.
Il n'existe pas en effet un unique triplet qui peut former toutes les solutions, mais plusieurs de formes différentes, et crois moi j'y travaille.

EDIT : d'ailleurs je viens de conclure le cas z = 3m + 1, il me reste le cas ou z = 3m + 2
          Si je prend x = 0, oui ça devient très bête, mais j'ai aussi résolu pour tout x  :wink: : (k; 2n + 2; 4^(n+1) - 3^k) pour tout n et k entiers naturels

Ben bonne chance pour trouver alors je te fais confiance :)

Par contre ta dernière solution est foireuse.


Au hasard, le premier truc que j'ai testé: k = 5 et n = 7.

(x,y,z) = (5; 16; 65293)

donc 2^(5+16+3) - 3^5 = 16776973 = 4^8 - 3^5 = 65293

Oui, je corrige ça, je viens de remarquer en même temps.

Ah voilà, j'ai fait une erreur de frappe en marquant sur le forum :
(x;y;z) =  (k; 2n + 2 -k; 4^(n+1) - 3^k)
C'est le cas ou z = 3m + 1

Pour k = 3 et n = 4: (encore une fois le premier truc testé)

(x; y; z) = (3; 7; 997)

2^(x+y+3) - 3^x = 2^(3+7+3) - 3^3 = 8192 - 27 = 8165 != z = 997 = 3 x 332 + 1

Donc ça m'a l'air faux encore une fois.

Malgré le fait qu'à priori je ne pense pas qu'on puisse aboutir à quoi que ce soit, j'ai essayé pendant 40 minutes dans le métro en rentrant chez moi et je n'ai fait que tourner en rond (je pars très loin mais je reviens toujours à mon point de départ).

Bref, c'est clairement pas de mon niveau, bonne chance à ceux qui cherchent et bravo à qui trouvera :)

BAAL, on parle de la mauvaise équation, moi je suis resté à l'équation d'origine, j'avais pas fait gaffe à la modification. Le triplet marche dans l'équation d'origine.

Mais bon, en fait, cette équation n'a pas trop d'intérêt car elle possède une infinité de solution de la forme :
(x;y;z) = (k;n; 2^(n+k) - 3^(k)).
Toutes les solutions que je propose sont justes des cas particuliers de ce triplet. Sa ne fait donc pas avancer le problème, et je suis sûr qu'on ne peut pas avancer plus loin. BAAL a raison dans un sens.

Si z = 3m
   Si x  >= 1, pas de solution car 3 ne divise pas une puissance de 2
   Si x = 0, on a (0; 2n+2, 4^(n+1))

Si z = 3m + 1
    Si x >= 1, (k; 2n + 2 - k ; 4^(n+1) - 3^k)
    Si x = 0, je sais plus, un truc dans le même genre

Si z = 3m + 2
     Si x >= 1, (k; 2n+3 -k; 2^(2n+3) - 3^k)
     Si x = 0, pas de solution.

Je ne pense pas qu'il puisse exister des formes vraiment à part.

J'allais poster pour préciser que la toute première solution avec x=0 n'est que la réécriture de l'équation d'origine ^^, un peu comme tu dis maintenant.

En effet, tous les triplets suivants sont solutions:
(0, n, 2^(n+3) - 1)
(1, n, 2^(1+n+3) - 3)
(2, n, 2^(2+n+3) - 9)
(3, n, 2^(3+n+3) - 27)
.
.
.
donc pour x = k:
(k; n; 2^(k+n+3) - 3^n)

Encore du tournage en rond...

Pour compenser, je propose qu'on regarde 2^(x+y+3) - 3^x = 5, l'équation qu'à proposer Iansus dans quelques postes précédents.

C'est elle que je regardais en fait... c'est la même chose que pour la première tu vas juste tourner en rond.

Peut-être pour le cas particulier z = 5 à la limite...

Moi j'attends que Iansus nous dise d'où il sort son problème avant de faire quoi que ce soit =).

Tu veux dire les triplets (k; n; 2^(k+n+3) - 3^k) ?

D'ailleurs, je me suis rendu compte avec conficius que j'avais fait une légère erreur dans l'énoncé. L'équation que j'aurais normalement du vous proposer n'avait pas 3 inconnues, mais 4 !
Mais bon, si nous arrivons à résoudre celle-ci, peut-être cela donnera-t-il des pistes pour l'autre ?

Si c'est possible de trouver une autre forme des solutions, alors je ne pense pas qu'on ai le niveau alors.

Mais je m'intéresse au cas ou z = 5, la il n'y a que 2 solutions avec y négatifs, et c'est tout.

Dans le problème à l'origine de l'équation, x et y sont positifs...

Oui

Oui x et y sont positifs. J'espère qu'on peut trouver une solution élémentaire à ce problème...
Peut être qu'on peut regarder modulo 10 car si z = 5, alors 2^X - 3^Y se finit soit par 0 ou 5...

Je ne te suis plus, s'il se termine par 0 ou 5, il faut regarder modulo 5 non ?

Edit : j'ai rien dit, merci conficius...

On peut aussi m'enfin... je voulais dire modulo 10 car pour connaître le chiffre des unités d'un nombre, il faut regarder modulo 10.

Voilà une solution pour le cas ou z = 5, c'est assez long donc je vais passer sur quelques trucs.

On a 2^(x+y+3) - 3^x = 5
On a x+y+3 >= 1, supposons alors x >= 1.
Donc on peut réécrire l'équation comme : 2X - 3Y = 5 où X = 2^(x+y+2) et Y = 3^(x-1).
Cela se résout rapidement et on obtient X = 3k +4 et  Y = 2k + 1, pour k entier relatif.
Donc 3^(x-1) = 2k + 1
        2^(x+y+2) = 3k + 4    <=> 4[2^(x+y) - 1] = 3k
4 divise 3k donc k = 4k' d'où 2^(x+y) - 1 = 3k' et 3^(x-1) = 8k' + 1
On a 2^(x+y) = 3k' + 1
Or 3k' + 1 est une puissance de 2 que si k' = [4^(n+1) - 1]/3
On a aussi : 3^(x-1) = 8k' + 1
Or 8k' + 1 est une puissance de 3 que si k' = (9^u - 1)/8
Donc (9^u - 1)/8 = [4^(n+1) - 1]/3
On trouve les couplets (u;n) = (0; -1) et (1;0)
De là on remplace et on résout et on trouve et les couplets (x;y) = (1; -1) ou (3; -1)

Mais comme dans le problème d'origine x et y sont positifs, alors il n'y a pas de solutions...

J'espère ne pas avoir fait d'erreur...

Bien joué Conficius !
C'est un beau raisonnement, et c'est vrai que passer par les équations diophantiennes du type ax+by=c est une bonne idée !

Merci

Un truc, l'équation d'origine est une équation diophantienne. Je pense que tu voulais dire "passer par les équations de la forme ax + by = c"