NewbieContest

Saluts.

Bon je ne sais pas si les mathématiques sont aimés par du monde ici ou pas, mais comme ça se rapproche de l'informatique (ou pas ?), on va quand même tenter (d'ailleurs je n'ai pas encore vu de sujet identique).

Il s'agit de résoudre une équation diophantienne, c'est à dire une équation dont les solutions doivent être des nombres entiers.

Résoudre dans Z (c'est à dire dans l'ensemble des entiers relatifs) : http://conficiuskyn.free.fr/eq.png (http://conficiuskyn.free.fr/eq.png)

Bonne chance à tous.

PS : je ne demande pas un bruteforce, mais une démonstration mathématique, sinon c'est trop facile...

Salut Conficius.

J'aime les maths mais je dois avouer que mon niveau n'est pas suffisant pour résoudre cet équation.

Après avoir cherché en vain sur google, j'ai remarqué que l'équation à résoudre ne correspond à aucunes de celles utilisées dans les différents théorèmes:
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diophantienne

Je suppose qu'il faut donc modifier l'équation en factorisant/développant, en faisant un changement de variable...

Peut être en passant par les équations différentiels (je dit peut être une connerie hein!!).

En tout cas bon courage.

Mogg

Ce genre d'équations requiert de l'entraînement.
Mais pas besoin d'équations différentiels ! (d'ailleurs ça s'utilise peu)
Mais tu as raison sur le fait de réécrire l'équation sous une autre forme.
Le niveau de première S est suffisant, mais en première on n'a pas l'expérience nécessaire, ni en Terminal S d'ailleurs. La spécialité Math de terminal peut servir (enfin très peu car si quelqu'un qui sait résoudre x² - y² = 1, alors il connaît la "chose" pour l'équation proposée ici). D'ailleurs étant moi même en terminal, je pense que plusieurs personnes ici peuvent l'aborder. Mais c'est tout à fait vrai que ça s'adresse à des personnes courageuses :)
Il suffit de chercher, de réécrire de plusieurs façons, les connaissances de prépa ne sont pas utiles (juste l'expérience, ou pas ?)

Alors là j'ai honte!!!

Je suis en 2ème année de DUT Réseaux et Télécommunications avec une bonne moyenne en math et je m'avoue impuissant devant cette équation.

Je n'avais jamais entendu parler d'équation diophantienne. A mon avis il faut faire des changements de variable à tour de bras afin d'utiliser les théorèmes connues.

Je peux pas t'aider et de plus je n'ai pas vraiment la motivation pour le faire (je suis en vacances  :cool:).

Si tu arrives à la résoudre je suis preneur de la solution.

Mogg

Bonjour,

Je ne suis pas certain d'avoir bien compris. Si je lis bien (?), il y aurait une infinité de solutions ("au moins", comme dit l'autre !). Quand x = -y (à part 0), le premier membre est égal à -1. Dans le deuxième membre de l'équation, (x²-y²) donc (x²-y²) *(y/x) = 0 et on reste avec 1/(-1) = -1.
J'ai dû louper quelque chose...

En effet, on voit que ce sont des solutions entières. Mais s'il y en a d'autres, il faut les trouver, et si les solutions de CommComm sont les seules,  il faut le démontrer avec une preuve mathématique ! Sinon c'est facile de voir que ces solutions marchent.

D'après mes calculs (oui, ça m'a bien occupé aujourd'hui  :D) 1 et -1 sont les seuls ENTIERS, les autres solutions sont des réels. J'espère ne pas avoir fait d'erreur (j'en fait vraiment beaucoup avant d'en arriver à cette conclusion...)

Et dire qu'il y a quelques années de ça, ça m'aurait presque paru facile   :rolleyes:  ...J'me sens vieille....

-1 et 1 sont aussi des réels, enfin bon, à croire que tu n'as pas lu le post de CommComm, il y a évidemment d'autres solutions à part -1 et 1, les couples : (-2;2) (-3;3)... etc sont aussi solutions, tu t'es trompé dans tes calculs  =)

Enfin, content que ça interesse quelqu'un au moins  :D
 
Bonne chance.

J'avais très peur de cette réponse....

tous les entiers sont des réels, mais tous les réels ne sont pas des entiers....

Je t'avoue que je n'ai fait que survoler son post, et voilà le résultat  :oops:

Devrais-je poster la solution (car ça n'interesse pas ^^) ou donner un indice ?

Oui un indice ne serait pas de refus, tout ce que j'ai réussi à faire jusqu'à maintenant c'est démontrer que tous les couples sous la forme (x;y) tel que x=-y sont solutions et qu'aucun couple (x;y) tel que x=y n'est solution de cette équation.


Juste une petite précision, c'est résoudre dans Z² car tu cherche un couple d'entier (x;y) et pas simplement une seule inconnue (avec y différent de 0 bien évidemment).

En effet, merci je corrigerai plus tard cette oublie.

Un indice : il est facile de montrer que tous les couples (k;-k) k € Z sont solutions. Mais pour les autres ? en fait il suffit de modifier l'équation pour pouvoir factoriser et mettre l'équation sous la forme F(x) = c, c étant une constante et F(x) étant un produit de facteurs. Ensuite on prend au cas par cas. Si un moment tu bloques  sur une équation (en effet il y en a une autre mini à résoudre) tu peux demander. Ce n'est que de la manipulation algébrique.

Je ne vois pas comment obtenir une constante, surtout avec la forme de l'équation de départ. Après plusieurs heures de recherche j'aboutis à une équation de degré 4 à deux inconnues :

(-1/x)y^4 + y^3 -xy² + y + x = 0

si les coefficients étaient des réels, cela se résoudrait facilement mais vu que ce sont des inconnues, ça complexifie la chose.

Je pense que tu as dû te tromper quelque part, car l'expression que l'on a initialement est bel et bien factorisable. Développer le tout et factoriser. Mais un des facteurs de la factorisation est une autre équation à résoudre où il faut considérer un ****ôme.
Essaye plusieurs factorisation, tu arriveras forcément à la bonne ;)

PS : pour l'expression que tu as, je ne pense pas que ce soit, si tu as fait la même chose que moi, tu dois avoir un terme en plus.

Effectivement après relecture il manquait bien un terme, mais il ne simplifie pas le problème. j'obtiens :

(-1/x)y^4 + y^3 +xy² + (1-x²)y + x = 0

Sinon pour pouvoir factoriser il y a effectivement une solution mais elle ne conduit nul part. Je pensais déjà à rendre l'expression rationnelle en multipliant le numérateur du 2ème membre par y et le dénominateur par x. Après l'inconvenant c'est qu'on se retrouve avec des membres où il y a à la fois des x et des y mais jamais uniquement les 2, ce qui fait que si on veut factoriser l'integralité de l'expression par x ou y, on se retrouve avec des fractions et pour une équation diophantienne c'est pas top, surtout que ça n'arrange pas l'expression.

Je serait bien curieux de connaître comment tu arrives à une constante, juste avec de la manipulation algébrique.

Ta factorisation est la bonne, tu es proche, un des facteurs de la factorisation est rapide à traiter, mais l'autre est une autre équation diophantienne à résoudre. Elle n'est pas très compliqué, comme préciser dans mon post précédent, il faut considérer cette équation comme un ****ôme avec comme paramètre y.

Ok j'ai tout refait depuis le début, et je pense toucher le but.

Cependant je n'arrive pas à factoriser l'expression x²-y²-x-y, ce qui aiderait car je pense faire apparaître (x²-y²)(....).

Si une telle factorisation existe, je pense avoir la solution.

Je n'ai pas eu à factoriser avec x² - y² et je ne pense pas que ce soit possible.
Réfléchie au facteur qu'il pourrait y avoir, en y réfléchissant on peut trouver car on sait déjà quelque chose à propos des solutions de l'équation. à moins que je me sois trompé (je ne pense pas).
Tu devrais écrire ce que tu obtiens après le développement, car tu as l'air d'être dans une impasse. Ou peut-être que tu t'es trompé en mettant tout sur le même dénominateur ?

Il existe une factorisation de x²-y² qui est (x-y)(x+y).

Si cela ne convient pas tu peux peut être essayer la forme canonique.

Désolé pour le lien SDZ :

http://www.siteduzero.com/cgi-bin/mimetex.cgi?y^4+x^3y-xy^3-x^2y^2-x^2-xy=0 (http://www.siteduzero.com/cgi-bin/mimetex.cgi?y^4+x^3y-xy^3-x^2y^2-x^2-xy=0)

ou

http://www.siteduzero.com/cgi-bin/mimetex.cgi?y(y-1)(y^2+y+1)-x(y^2(1+x)-x(xy+1))=0 (http://www.siteduzero.com/cgi-bin/mimetex.cgi?y(y-1)(y^2+y+1)-x(y^2(1+x)-x(xy+1))=0)

Après ça bloque !

Merci mogg41, mais cela est une identité remarquable des plus élémentaires, je ne cherchais pas à factoriser x²-y² mais factoriser l'expression énoncée plus haut (x²-y²-x-y) pour que l'un des deux facteurs soit x²-y².

Quant à toi Iansus, ce que tu as trouvé est exactement ce que j'ai posté 4 messages plus haut, si ce n'est que tu as tout multiplié par -x.

En effet, (-1/x)y^4 * (-x) + y^3 * (-x) + xy² * (-x) + (-x) * (1-x²)y + x * (-x)

            = y^4 - xy^3 - x²y² + (x^3-x)y - x²

            =y^4 - xy^3 - x²y² - xy + x^3y -x²

Ce qui correspond à ce que tu as obtenu. Il est même facile de voir au premier coup d'œil que les 2 expressions sont équivalentes.

Pour le second lien, c'est une écriture qui présente peu d'intérêt car même si tu as essayé de factoriser les termes, on se retrouve avec le même problème que dans les premières étapes de la résolution, mais avec tout de même une forme différente.

Vérifie donc deux fois avant de poster la prochaine fois que ce que tu avance n'as pas déjà été dit, ce qui éviterai ce genre de post inutile.
           

(x²-y²-x-y)= (x²-y²) a
D'où a= (x²-y²-x-y)/(x²-y²)
Cela doit pouvoir se simplifier.

J'espère ne pas avoir répondu (qui a dit encore?) à côté de la plaque.


Mogg

Oui c'est justement ce que je cherche à faire, le problème c'est que ça ne se simplifie pas après  =(

Évidemment...

Pour l'expression que vous obtenez Thunderlord et lansus.
Je répète, elle est factorisable  par un facteur particulier qui peut vous donner toutes les solutions de la formes (k;-k) k€ Z.
L'autre facteur est une autre équation à résoudre en considérant un trinôme.
Si vous ne trouvez toujours pas, je vous dévoilerai quel est ce facteur (mais peut-être que vous avez déjà essayer mais que vous avez pensé que ça ne donne rien).

Autre chose, je n'ai pas eu à utiliser x² - y² - x - y.  Mais cette expression est factorisable : x² - y² - x - y = (x+y)(x-y-1)
Mais il est impossible de faire apparaître le facteur x² - y² en produit de facteurs d'entiers dont on est sûr.
Cependant si on doit résoudre x² - y² - x - y = 0
Alors on peut faire si (x+y)(x-y-1) = 0 <=> (x-y)(x+y)(x-y-1)/(x-y) = 0 <=> (x² - y²)(x-y-1)/(x-y) = 0 <=> (x-y)(x²-y²)(x-y-1) = 0
Il faut que x-y soit différent de 0 dans ce cas.
Et voilà le facteur x² - y²  mais je ne vois pas à quoi ça peut servir.

Si et seulement si (x²-y²) est non nul. Un peu de rigueur, voyons !

Merci voilà ce que je cherchais, avec ça je vais pouvoir avancer.


Hum, ça me rappelle ma prof de maths  =)

Tout à fait _o_ mais comme on a déjà démontrer que pour tous les couples (k;k) k € Z, l'équation n'admet aucune solution, on considère que x est différent de y, donc x²-y² est différent de 0.

Mais tu as raison sur le fait que mogg aurait du le préciser.

Hum... ça n'est pas très compliqué pourtant, x² - y² - x - y = (x-y)(x+y) - (x+y) après c'est le cours de troisième.

Oui c'est vrai mais en fait ça ne m'aide pas tellement. Je me demande vraiment quel est ce facteur particulier dont tu parles.

Si un facteur permet de déduire que toutes les solutions de la forme (k;-k) k€Z* sont solutions, alors on peut penser qu'il peut être égal  x+y.
Si on a (x+y)(...) = 0 alors soit ... = 0 ou x+y = 0 => x = -y.

Tiens c'est exactement ce que j'ai essayé de faire, le problème c'est qu'en mettant x+y en facteur le deuxième ne devient pas un trinôme mais se complexifie davantage.

As-tu essayé de calculer le discriminant de paramètre y ?
Si oui il reste encore une autre petite équation à résoudre qui n'est pas très compliquée.
Montre moi ce que tu obtiens car je n'obtiens pas quelque chose qui se complexifie encore plus...

(x+y)((y^4)/(x+y)-(xy^3)/(x+y)-(x²y²)/(x+y)-(xy)/(x+y)+(x^3y)/(x+y)-(x²)/(x+y))=0

Je n'en suis pas encore au calcul du discriminant, car il faudrait déjà simplifier ce deuxième membre pour se ramener à un trinôme.

Après je transforme le 1/(x+y) en (x-y)/(x²-y²) car x²-y²=(x-y)(x+y) et x différent de y.

Après d'éventuelles simplifications j'obtiens une expression encore plus compliquée avec l'un des termes qui est -y^5.

Je sais pas pourquoi tu cherches compliqué mais on peut faire plus simplement car on a çà :

(-y^3)(x-y) + x²y(x-y) - x(x+y) = 0

Et de là toutes les factorisation s'enchaînent...

PS : tu peux multiplier par (x+y) oublie pas.

Je poste la solution : http://conficiuskyn.free.fr/equation/EqDiophant1.pdf